Tangent gjennom et punkt utenfor grafen – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 5 · leksjon 5.7 · eksamen: del 1 og del 2

Noen ganger skal en tangent gå gjennom et punkt som ikke ligger på grafen. Her lærer du å finne tangeringspunktet ved regning, og hvorfor det ofte finnes to tangenter.

Dette er leksjon 5.7 Tangent gjennom et punkt utenfor grafen i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Problemet

f(x) = x² og punktet (1, −3). Punktet ligger ikke på grafen, fordi 1² = 1, ikke −3. Du vet altså ikke hvor tangenten berører grafen. Tegner du, ser du at det finnes to tangenter gjennom punktet.

Metoden

1. Sett opp tangenten i et ukjent punkt x = a: y = f(a) + f'(a)(x − a).
2. Tangenten skal gå gjennom det gitte punktet. Sett inn x og y fra punktet.
3. Løs ligningen for a. Hver løsning gir én tangent.

Eksempler

Eksempel 1: to tangenter

Finn ligningene for tangentene til f(x) = x² som går gjennom punktet (1, −3).

f(a) + f'(a)(x − a) = 2ax − a²
2a · 1 − a² = −3
a² − 2a − 3 = 0
(a − 3)(a + 1) = 0
a = 3 eller a = −1
2 · 3 · x − 3² = 6x − 9
2 · (−1) · x − (−1)² = −2x − 1

Svar: y = 6x − 9 og y = −2x − 1

Sjekk: Begge går gjennom (1, −3), fordi 6 − 9 = −3 og −2 − 1 = −3.

Eksempel 2: et punkt på y-aksen

Finn tangentene til f(x) = x² som går gjennom (0, −4).

2a · 0 − a² = −4
a² = 4
a = 2 eller a = −2
2 · 2 · x − 2² = 4x − 4
2 · (−2) · x − (−2)² = −4x − 4

Svar: y = 4x − 4 og y = −4x − 4

Øv selv: 15 oppgaver i tangentens ligning med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke det gitte punktet som tangeringspunkt, selv om det ikke ligger på grafen.
• Å finne bare én av tangentene. Andregradsligningen gir to løsninger.
• Å glemme å sette a inn igjen i tangentlikningen til slutt.

På eksamen

Denne oppgavetypen kommer på del 1 og del 2. Skriv tangenten med a tydelig, sett inn punktet og løs for a. Svar med begge tangentlikningene, og sjekk at punktet ligger på dem.

Leksjonen hører til modulen Vekstfart og derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: tangent tangeringspunkt

Les også

• Gjennomsnittlig vekstfart: formel og eksempler
• Momentan vekstfart – forklart steg for steg
• Definisjonen av den deriverte – forklart steg for steg
• Derivasjonsregler for polynomer
• Derivere potensfunksjoner – forklart steg for steg
• Tangentens ligning: slik finner du tangenten
• Toppunkt og bunnpunkt med den deriverte
• Optimering – forklart steg for steg
• Den deriverte i praksis – forklart steg for steg
• Tangentens ligning: oppgaver med fasit
• Hva er derivasjon? Forklart fra bunnen av · blogg
• Derivasjonsregler: oversikt med eksempler · blogg
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.