Definisjonen av den deriverte – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 5 · leksjon 5.3 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Den deriverte er en formel for vekstfarten i alle punkter. Her lærer du definisjonen, og hvordan du bruker den til å derivere enkle funksjoner.

Dette er leksjon 5.3 Definisjonen av den deriverte i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Fra punkt til formel

Gjør du kordeutregningen for en vilkårlig x i stedet for et tall, får du en ny funksjon som gir vekstfarten overalt. Den kalles den deriverte, f'(x):

f'(x) = lim f(x + h) − f(x) delt på h når h går mot 0.

Metoden

1. Sett opp brøken f(x + h) − f(x) delt på h.
2. Gang ut og forenkle telleren, så du kan forkorte h.
3. La h gå mot 0. Det som står igjen, er den deriverte.

Et enkelt eksempel

For f(x) = 3x + 1 forsvinner 3x og 1, og igjen står 3h delt på h = 3. Den deriverte er 3, som er stigningstallet til linja.

3(x + h) + 1 − (3x + 1) delt på h = 3

Eksempler

Eksempel 1: den deriverte av x²

Bruk definisjonen til å finne f'(x) når f(x) = x².

f(x + h) − f(x) delt på h = (x + h)² − x² delt på h
(x + h)² − x² delt på h = 2xh + h² delt på h
2xh + h² delt på h = 2x + h
f'(x) = 2x

Svar: f'(x) = 2x, fordi 2x + h går mot 2x når h går mot 0.

Formelen gir vekstfarten overalt: f'(3) = 6 og f'(−2) = −4.

Eksempel 2: x² + 4x

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x) = x² + 4x.

(x + h)² + 4(x + h) − x² − 4x delt på h = 2xh + h² + 4h delt på h
2xh + h² + 4h delt på h = 2x + h + 4
f'(x) = 2x + 4

Svar: f'(x) = 2x + 4

Øv selv: 15 oppgaver i derivasjon med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å sette h = 0 før du har forkortet. Da får du 0 delt på 0, som ikke gir mening.
• Å skrive (x + h)² = x² + h². Husk midtleddet 2xh.
• Å glemme at hele f(x) skal trekkes fra, med parentes.

På eksamen

Definisjonen av den deriverte kan komme på del 1 som «bruk definisjonen til å vise at …». Skriv brøken, forenkle linje for linje og si tydelig når du lar h gå mot 0. Vanlig derivasjon med regler gir ikke poeng når oppgaven ber om definisjonen.

Leksjonen hører til modulen Vekstfart og derivasjon og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: den deriverte grenseverdi differansekvotient

Les også

• Gjennomsnittlig vekstfart: formel og eksempler
• Momentan vekstfart – forklart steg for steg
• Derivasjonsregler for polynomer
• Derivere potensfunksjoner – forklart steg for steg
• Tangentens ligning: slik finner du tangenten
• Tangent gjennom et punkt utenfor grafen – forklart steg for steg
• Toppunkt og bunnpunkt med den deriverte
• Optimering – forklart steg for steg
• Den deriverte i praksis – forklart steg for steg
• Derivasjon: oppgaver med fasit
• Hva er derivasjon? Forklart fra bunnen av · blogg
• Derivasjonsregler: oversikt med eksempler · blogg
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.