Optimering – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 5 · leksjon 5.9 · eksamen: del 1 og del 2

Optimering betyr å finne det beste: størst areal, lavest kostnad eller mest overskudd. Her lærer du oppskriften med den deriverte, steg for steg.

Dette er leksjon 5.9 Optimering i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Oppskriften

Først lager du en funksjon for det som skal bli størst eller minst. Så finner du topp- eller bunnpunktet med den deriverte. Til slutt svarer du på det oppgaven spør om, med ord og enhet.

Metoden

1. Sett opp en funksjon for størrelsen. Bruk opplysningene i oppgaven til å få bare én variabel.
2. Deriver, og finn hvor den deriverte er 0.
3. Sjekk med fortegnslinje at det er et toppunkt eller bunnpunkt, og svar på spørsmålet.

Eksempler

Eksempel 1: størst areal

Et rektangel har omkrets 20 m. Hvilke sider gir størst areal?

A(x) = x(10 − x) = 10x − x²
A'(x) = 10 − 2x
10 − 2 · 5 = 0
A(5) = 10 · 5 − 5² = 25

Svar: Sidene er 5 m og 5 m, og arealet er 25 m².

To sider sammen er halve omkretsen, 10 m. Derfor er den andre siden 10 − x. A' går fra positiv til negativ i x = 5, så det er et toppunkt.

Eksempel 2: lavest kostnad

Kostnaden per enhet er K(x) = 800 delt på x + 2x kroner når en bedrift lager x enheter per dag (x > 0). Hvor mange enheter gir lavest kostnad per enhet?

K'(x) = −800 delt på x² + 2
−800 delt på 20² + 2 = 0
K(20) = 800 delt på 20 + 2 · 20 = 80

Svar: 20 enheter per dag. Da er kostnaden 80 kr per enhet.

K' er negativ for x < 20 og positiv for x > 20, så x = 20 gir et bunnpunkt.

Øv selv: 15 oppgaver i optimering med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å glemme å sjekke med fortegnslinje at det er et topp- eller bunnpunkt.
• Å derivere 800 delt på x til 800. Skriv 800x opphøyd i ⁻¹ først.
• Å stoppe ved x-verdien og ikke svare på spørsmålet med ord og enhet.

På eksamen

Optimering kommer på del 2, ofte som siste deloppgave. Fra våren 2027 har du ikke datamaskin, så du deriverer for hånd og bruker kalkulatoren til tallene. Vis fortegnslinja, og avslutt med en setning som svarer på spørsmålet.

Leksjonen hører til modulen Vekstfart og derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: optimering maksimum minimum

Les også

• Gjennomsnittlig vekstfart: formel og eksempler
• Momentan vekstfart – forklart steg for steg
• Definisjonen av den deriverte – forklart steg for steg
• Derivasjonsregler for polynomer
• Derivere potensfunksjoner – forklart steg for steg
• Tangentens ligning: slik finner du tangenten
• Tangent gjennom et punkt utenfor grafen – forklart steg for steg
• Toppunkt og bunnpunkt med den deriverte
• Den deriverte i praksis – forklart steg for steg
• Optimering: oppgaver med fasit
• Hva er derivasjon? Forklart fra bunnen av · blogg
• Derivasjonsregler: oversikt med eksempler · blogg
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.