Derivasjonsregler for polynomer

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · eksamen: del 1

Den deriverte f′(x) gir vekstfarten til en funksjon i hvert punkt. For polynomer trenger du bare tre regler, og da kan du derivere alt fra x² til lange uttrykk på sekunder.

Lær dette i Sophus: 5.4 Derivasjonsregler for polynomer i Matematikk 1T, med video og øving. Se leksjonen

Reglene

Konstant	(k)′ = 0
Potens	(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}
Tall ganger funksjon	(k · f(x))′ = k · f′(x)
Sum	(f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x)

Spesielt er (x)′ = 1, så (7x)′ = 7.

Hva betyr f′(a)?

f′(a) er stigningstallet til tangenten i punktet (a, f(a)), og den momentane vekstfarten der. Er f′(a) positiv, vokser funksjonen i a. Er den negativ, avtar den.

Eksempler

Eksempel 1: et polynom

Deriver f(x) = 4x³ − 5x² + 7x − 2.

f′(x) = 4 · 3x² − 5 · 2x + 7 − 0 = 12x² − 10x + 7

Eksempel 2: gang ut først

Deriver f(x) = (2x − 1)². Gang ut med andre kvadratsetning:

f(x) = 4x² − 4x + 1 · f′(x) = 8x − 4

Eksempel 3: vekstfart i et punkt

Finn f′(2) når f(x) = x³ − 6x.

f′(x) = 3x² − 6 · f′(2) = 3 · 4 − 6 = 6

Grafen stiger med 6 enheter per enhet i x = 2.

Vanlige feil

Å glemme å trekke 1 fra eksponenten: (x³)′ = 3x², ikke 3x³.
Å derivere en konstant til seg selv. (−2)′ = 0.
Å derivere (2x − 1)² som 2(2x − 1). Gang ut først (i R1 lærer du kjerneregelen).
Å sette inn x-verdien før du deriverer.

På eksamen

Derivasjon av polynomer er med på del 1 i 1T hvert år, både alene og som første steg i oppgaver om tangenter, topp- og bunnpunkter og optimering. På del 2 bruker du den deriverte i modeller, og fra våren 2027 deriverer du for hånd, fordi datamaskin ikke er lov.

I kurset hører temaet til leksjon 5.4 i modulen Vekstfart og derivasjon, som øves til del 1. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Spørsmål og svar

Hvordan deriverer jeg x i n-te?

Gang med eksponenten og trekk 1 fra eksponenten: (x^n)′ = n · x^(n−1). For eksempel (x³)′ = 3x².

Hva er den deriverte av et tall?

Null, fordi en konstant ikke endrer seg.

Hva betyr den deriverte?

Den momentane vekstfarten, altså stigningstallet til tangenten i punktet.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.