Toppunkt og bunnpunkt med den deriverte

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · eksamen: del 1

Toppunkter og bunnpunkter er der grafen snur. Der er den deriverte null, og den skifter fortegn. Med en fortegnslinje for f′(x) finner du dem sikkert, uten å tegne grafen.

Lær dette i Sophus: 5.8 Drøfting med den deriverte i Matematikk 1T, med video og øving. Se leksjonen

Metoden

Deriver og løs f′(x) = 0.
Faktoriser f′(x) og tegn fortegnslinje.
Fra + til − er et toppunkt. Fra − til + er et bunnpunkt.
Regn ut y-verdien med f(x), ikke f′(x).

Hvorfor fortegnslinja trengs

At f′(x) = 0 er ikke nok. For f(x) = x³ er f′(0) = 0, men f′(x) = 3x² er positiv på begge sider. Grafen flater ut og fortsetter oppover. Det kalles et terrassepunkt, og det er verken topp eller bunn.

Eksempler

Eksempel 1: et tredjegradspolynom

Finn topp- og bunnpunktene til f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5.

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1)

f′ er null i x = −1 og x = 3. Fortegnet er + før −1, − mellom −1 og 3, og + etter 3. For eksempel er f′(0) = −9.

f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10 · f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22

Toppunktet er (−1, 10) og bunnpunktet er (3, −22).

Eksempel 2: en parabel

Finn toppunktet til f(x) = −x² + 4x + 1.

f′(x) = −2x + 4 = 0 gir x = 2 · f(2) = −4 + 8 + 1 = 5

f′ er positiv for x < 2 og negativ for x > 2, så (2, 5) er et toppunkt.

Eksempel 3: terrassepunkt

f(x) = x³ + 2 har f′(x) = 3x², som er null i x = 0. Men 3x² er positiv på begge sider, så f vokser hele tiden. Punktet (0, 2) er et terrassepunkt, ikke et toppunkt eller bunnpunkt.

Vanlige feil

Å regne ut y-verdien med f′(x). Den skal regnes med f(x).
Å kalle alle punkter med f′(x) = 0 for topp- eller bunnpunkt uten fortegnslinje.
Å oppgi bare x-verdien. Et punkt har både x og y.
Å blande toppunkt (punktet) og toppverdi (y-verdien).

På eksamen

Drøfting med den deriverte er en hovedoppgave på del 1 i 1T: finn hvor f vokser og avtar, og finn topp- og bunnpunkter. På del 2 kommer det samme i optimeringsoppgaver, for eksempel størst overskudd eller areal. Fra våren 2027 tegner du grafen for hånd og finner punktene ved regning, ikke med digitalt verktøy.

I kurset hører temaet til leksjon 5.8 i modulen Vekstfart og derivasjon, som øves til del 1. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Spørsmål og svar

Hvordan finner jeg toppunkt og bunnpunkt?

Løs f′(x) = 0, tegn fortegnslinje for f′(x), og regn ut y-verdiene med f(x). Fra + til − er toppunkt, fra − til + bunnpunkt.

Hva er et terrassepunkt?

Et punkt der f′(x) = 0, men f′ ikke skifter fortegn. Grafen flater ut og fortsetter samme vei.

Hva er forskjellen på toppunkt og toppverdi?

Toppunktet er punktet (x, y). Toppverdien er bare y-verdien.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.