Hva er derivasjon? Forklart fra bunnen av

Den deriverte forteller hvor fort noe endrer seg akkurat nå. Det er hele ideen. Her bygger vi den opp fra en biltur, via stigningstall og tangenter, til regelen du bruker på prøver og eksamen.

Først: hva betyr vekstfart?

Du kjører 120 km på 2 timer. Gjennomsnittsfarten er 120 : 2 = 60 km/h. Men du kjørte ikke 60 km/h hele tiden. Noen ganger sto du stille, andre ganger kjørte du fortere. Speedometeret viser farten akkurat nå.

Slik er det med funksjoner også:

• Gjennomsnittlig vekstfart er hvor mye funksjonen endrer seg i snitt over et intervall.
• Momentan vekstfart er hvor fort funksjonen endrer seg i ett bestemt punkt. Det er den deriverte.

Gjennomsnittlig vekstfart: stigningstallet mellom to punkter

Ta funksjonen f(x) = x². Fra x = 1 til x = 3 går funksjonsverdien fra 1 til 9. Den gjennomsnittlige vekstfarten er

f(3) − f(1) delt på 3 − 1 = 9 − 1 delt på 2 = 4

Det er stigningstallet til den rette linjen gjennom punktene (1, 1) og (3, 9). Se også gjennomsnittlig vekstfart med flere eksempler.

Fra gjennomsnitt til akkurat nå

Hva er vekstfarten akkurat i x = 1? Vi gjør intervallet mindre og mindre:

Svarene nærmer seg 2. Vi sier at den deriverte av f i x = 1 er 2, og skriver f′(1) = 2. Grafisk er det stigningstallet til tangenten, linjen som så vidt berører grafen i punktet (1, 1).

Regelen som gjør det raskt

Du slipper å lage en slik tabell hver gang. For potenser gjelder:

(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

For f(x) = x² gir det f′(x) = 2x, og f′(1) = 2 · 1 = 2. Det stemmer med tabellen. Konstanter forsvinner når du deriverer, og et tall foran x følger med: (5x)′ = 5.

Et eksempel til: f(x) = x³ − 3x gir

f′(x) = 3x² − 3   ·   f′(2) = 3 · 4 − 3 = 9

I x = 2 vokser funksjonen med 9 for hver enhet x øker, akkurat der. Alle reglene står samlet i derivasjonsreglene med eksempler.

Hva brukes den deriverte til?

På toppen av en bakke er det verken oppover eller nedover. Det samme gjelder grafer: i et toppunkt eller bunnpunkt er den deriverte 0. For f(x) = x³ − 3x:

3x² − 3 = 0  gir  x² = 1, altså x = −1 eller x = 1

Setter du inn et tall i hvert område, ser du fortegnet til f′: f′(−2) = 9, f′(0) = −3 og f′(2) = 9. Grafen stiger, synker og stiger igjen. Da er (−1, 2) et toppunkt og (1, −2) et bunnpunkt. Mer om dette i toppunkt og bunnpunkt med den deriverte.

En typisk eksamensoppgave

Temperaturen i et rom t timer etter klokka 08.00 er gitt ved

T(t) = −0,5t² + 4t + 10

1. Hvor fort stiger temperaturen klokka 10.00? Det er t = 2. T′(t) = −t + 4, så T′(2) = 2. Temperaturen stiger med 2 °C per time klokka 10.00.
2. Når er det varmest? T′(t) = 0 gir t = 4. Den deriverte skifter fra pluss til minus der, så det er et toppunkt. T(4) = −8 + 16 + 10 = 18. Det er varmest klokka 12.00, med 18 °C.

Legg merke til at svaret alltid får en enhet og en tolkning: «stiger med 2 °C per time», ikke bare «2».

Vanlige feil

• Blande f(2) og f′(2). f(2) er verdien, f′(2) er hvor fort verdien endrer seg.
• Glemme å senke eksponenten. (x³)′ = 3x², ikke 3x³.
• Tro at f′(x) = 0 alltid er et toppunkt. Sjekk fortegnet på begge sider.
• Svare uten enhet. Vekstfart har enhet, for eksempel °C per time eller kroner per år.

Temaer forklart med eksempler

• Gjennomsnittlig vekstfart: formel og eksempler
• Derivasjonsregler for polynomer
• Tangentens ligning: slik finner du tangenten
• Toppunkt og bunnpunkt med den deriverte
• Alle temaene

Mer om faget

• Momentan vekstfart – forklart steg for steg
• Vekstfart og derivasjon: modulen i matte 1T
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler

Ser du en feil? Si fra, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.