Momentan vekstfart – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 5 · leksjon 5.2 · eksamen: del 1 og del 2

Momentan vekstfart sier hvor fort noe endrer seg akkurat nå. Her lærer du at det er stigningstallet til tangenten, og hvordan du finner det med korder som blir kortere og kortere.

Dette er leksjon 5.2 Momentan vekstfart i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Hva er momentan vekstfart?

Gjennomsnittlig vekstfart gjelder over et intervall. Speedometeret i en bil viser farten akkurat nå. I en graf er den momentane vekstfarten stigningstallet til tangenten, linja som har samme retning som grafen i punktet.

Korder som blir kortere

1. Tegn en korde fra x = a til x = a + h.
2. Regn ut stigningstallet: f(a + h) − f(a) delt på h.
3. La h bli mindre og mindre. Tallene nærmer seg den momentane vekstfarten.

Les av en tangent

Er tangenten tegnet, velger du to punkter på den som er lette å lese av. Går tangenten gjennom (1, 1) og (2, 3), er stigningstallet 2.

3 − 1 delt på 2 − 1 = 2

Eksempler

Eksempel 1: korder for x²

Finn den momentane vekstfarten til f(x) = x² i x = 3 med korder som blir kortere.

f(4) − f(3) delt på 1 = 7
f(3,1) − f(3) delt på 0,1 = 6,1
f(3,01) − f(3) delt på 0,01 = 6,01

Svar: Den momentane vekstfarten er 6.

Stigningstallene 7, 6,1 og 6,01 nærmer seg 6.

Eksempel 2: med bokstaven h

Vis at kordene for f(x) = x² i x = 3 har stigningstall 6 + h.

f(3 + h) − f(3) delt på h = (3 + h)² − 9 delt på h
(3 + h)² − 9 delt på h = 6 + h

Svar: Stigningstallet er 6 + h, som går mot 6 når h går mot 0.

Øv selv: 15 oppgaver i vekstfart med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å tro at vekstfarten i x = 3 er f(3) = 9. Det er hvor stor funksjonen er, ikke hvor fort den vokser.
• Å bruke en lang korde og kalle det momentan vekstfart.
• Å lese av tangenten med punkter som ligger på grafen i stedet for på tangenten.

På eksamen

Momentan vekstfart kommer på del 1 som tolkning og avlesning, og på del 2 i praktiske situasjoner. Skriv svaret med enhet, for eksempel «6 meter per sekund», og si hva det betyr i situasjonen.

Leksjonen hører til modulen Vekstfart og derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: momentan vekstfart tangent

Les også

• Gjennomsnittlig vekstfart: formel og eksempler
• Definisjonen av den deriverte – forklart steg for steg
• Derivasjonsregler for polynomer
• Derivere potensfunksjoner – forklart steg for steg
• Tangentens ligning: slik finner du tangenten
• Tangent gjennom et punkt utenfor grafen – forklart steg for steg
• Toppunkt og bunnpunkt med den deriverte
• Optimering – forklart steg for steg
• Den deriverte i praksis – forklart steg for steg
• Vekstfart: oppgaver med fasit
• Hva er derivasjon? Forklart fra bunnen av · blogg
• Derivasjonsregler: oversikt med eksempler · blogg
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.