Vekstfart og derivasjon
Gjennomsnittlig og momentan vekstfart, hva den deriverte er, derivasjonsreglene, og hvordan du bruker den deriverte til å finne tangenter, topp- og bunnpunkter og den beste løsningen.
Leksjonene
5.1 Gjennomsnittlig vekstfart
Eksamen: del 1 og del 2
Du skal kunne
- Regne ut gjennomsnittlig vekstfart f(b) − f(a)/b − a i et intervall.
- Tolke svaret med riktig enhet, og som stigningstallet til en korde.
Begreper: gjennomsnittlig vekstfart, korde
Vanlige feil
- Regner bare T(4) − T(0) og deler ikke på tiden.
- Deler på funksjonsverdiene i stedet for på tiden.
5.2 Momentan vekstfart
Eksamen: del 1 og del 2
Du skal kunne
- Forklare momentan vekstfart som stigningstallet til tangenten.
- Finne en tilnærmet verdi med korder som blir kortere og kortere.
Begreper: momentan vekstfart, tangent
Vanlige feil
- Tror vekstfarten i x = 3 er f(3) = 9.
- Bruker en lang korde og kaller det momentan vekstfart.
5.3 Definisjonen av den deriverte
Eksamen: del 1 (uten hjelpemidler)
Du skal kunne
- Gjøre rede for definisjonen f'(x) = lim f(x + h) − f(x)/h når h går mot 0.
- Bruke definisjonen til å finne den deriverte av enkle funksjoner.
Begreper: den deriverte, grenseverdi, differansekvotient
Vanlige feil
- Setter h = 0 før de har forkortet, og får 0/0.
- Skriver (x + h)² = x² + h².
5.4 Derivasjonsregler for polynomer
Eksamen: del 1 (uten hjelpemidler)
Du skal kunne
- Derivere xⁿ, konstanter og summer: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹.
- Derivere polynomfunksjoner raskt og sikkert.
Begreper: derivasjonsregel, potensregelen
Vanlige feil
- Deriverer konstanten −7 til −7 i stedet for 0.
- Senker ikke eksponenten: (x³)' = 3x³.
5.5 Derivere potensfunksjoner
Eksamen: del 1 og del 2
Du skal kunne
- Bruke (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹ også når n er negativ eller en brøk.
- Skrive 1/x som x⁻¹ og √x som x^(1/2) før du deriverer.
Begreper: potensfunksjon, negativ eksponent, brøkeksponent
Vanlige feil
- Deriverer 8/x til 8/1 eller til 0.
- Glemmer at eksponenten blir mer negativ: (x⁻¹)' = −x⁻², ikke −x⁰.
5.6 Tangentens ligning
Eksamen: del 1 (uten hjelpemidler)
Du skal kunne
- Finne ligningen for tangenten i et punkt: y = f(a) + f'(a)(x − a).
- Forklare hva f(a) og f'(a) betyr i formelen.
Begreper: tangent, stigningstall
Vanlige feil
- Bruker f(2) som stigningstall.
- Setter inn x = 2 i f(x) i stedet for i f'(x) for å finne stigningstallet.
5.7 Tangent gjennom et punkt utenfor grafen
Eksamen: del 1 og del 2
Du skal kunne
- Sette opp tangenten i et ukjent punkt (a, f(a)) og kreve at den går gjennom det gitte punktet.
- Løse ligningen for a, som ofte blir en andregradsligning, og finne alle tangentene.
Begreper: tangent, tangeringspunkt
Vanlige feil
- Bruker (1, −3) som tangeringspunkt, selv om punktet ikke ligger på grafen.
- Finner bare én av de to tangentene.
5.8 Drøfting med den deriverte
Eksamen: del 1 (uten hjelpemidler)
Du skal kunne
- Finne hvor funksjonen vokser og avtar med fortegnslinje for f'(x).
- Finne topp- og bunnpunkter, med både x- og y-verdi.
Begreper: fortegnslinje, toppunkt, bunnpunkt, drøfting
Vanlige feil
- Setter f(x) = 0 i stedet for f'(x) = 0.
- Finner x-verdiene, men ikke y-verdiene.
- Avgjør ikke hvilket punkt som er topp og hvilket som er bunn.
5.9 Optimering
Eksamen: del 1 og del 2
Du skal kunne
- Sette opp en funksjon for størrelsen som skal bli størst eller minst.
- Bruke den deriverte og en fortegnslinje til å finne den beste løsningen, og svare på spørsmålet.
Begreper: optimering, maksimum, minimum
Vanlige feil
- Glemmer å sjekke med fortegnslinje at det er et bunnpunkt.
- Deriverer 800/x til 800.
5.10 Den deriverte i praksis
Eksamen: del 1 og del 2
Du skal kunne
- Tolke f'(a) i en praktisk situasjon, med riktig enhet.
- Skille mellom hvor stor noe er, f(a), og hvor fort det endrer seg, f'(a).
Begreper: vekstfart, enhet
Vanlige feil
- Sier at det er 2 000 brukere etter 5 måneder.
- Glemmer enheten «brukere per måned».