Derivasjonsregler: oversikt med eksempler
Den deriverte forteller hvor fort en funksjon endrer seg, altså stigningstallet til tangenten i et punkt. Her er reglene du trenger på videregående, samlet på ett sted, med ett eksempel per regel.
Hvilke regler hører til hvilket fag?
- 1T og S1: potensregelen, konstanter og summer, altså derivasjon av polynomer.
- R1 og S2: i tillegg kjerneregelen, produkt- og brøkregelen, og den deriverte av ex og ln x.
- R2: i tillegg sinus og cosinus.
Sjekk alltid læreplanen og læreboka for faget ditt. Skolene kan legge opp rekkefølgen litt forskjellig.
Grunnreglene
| Funksjon | Derivert | Eksempel |
|---|---|---|
| en konstant k | 0 | (7)' = 0 |
| xn | n · xn − 1 | (x4)' = 4x3 |
| k · f(x) | k · f'(x) | (5x4)' = 20x3 |
| f(x) + g(x) | f'(x) + g'(x) | (x3 − 3x)' = 3x2 − 3 |
Med disse reglene kan du derivere alle polynomer, ett ledd om gangen.
Kjerneregelen
Er funksjonen satt sammen, med en «kjerne» u inni, deriverer du den ytre funksjonen og ganger med den deriverte av kjernen: (g(u))' = g'(u) · u'.
Eksempel: f(x) = (2x + 1)5. Kjernen er u = 2x + 1, så u' = 2. Da er f'(x) = 5(2x + 1)4 · 2 = 10(2x + 1)4.
Den vanligste feilen er å glemme å gange med u'.
Produktregelen og brøkregelen
- Produkt: (u · v)' = u' · v + u · v'
- Brøk: (uv)' = u' · v − u · v'v2
Eksempel (produkt): f(x) = x · ex. Her er u = x og v = ex, så f'(x) = 1 · ex + x · ex = (x + 1)ex.
Eksempel (brøk): f(x) = xx + 1. Her er u = x og v = x + 1, så f'(x) = 1 · (x + 1) − x · 1(x + 1)2 = 1(x + 1)2.
I brøkregelen er rekkefølgen viktig: telleren starter med u', og det er minus mellom leddene.
ex og ln x
| Funksjon | Derivert | Eksempel |
|---|---|---|
| ex | ex | (e3x)' = 3e3x (kjerneregelen) |
| ln x | 1x, for x > 0 | (ln(x2 + 1))' = 2xx2 + 1 |
Sinus og cosinus (R2)
| Funksjon | Derivert | Eksempel |
|---|---|---|
| sin x | cos x | (sin 2x)' = 2 cos 2x |
| cos x | −sin x | (cos 3x)' = −3 sin 3x |
Vinkelen må være i radianer når du deriverer trigonometriske funksjoner.
Sjekk svaret ditt
Du kan teste en derivert med kalkulatoren: regn ut f(a + 0,001) − f(a − 0,001)0,002 for en verdi a. Svaret skal være omtrent det samme som f'(a). Det er en fin måte å fange regnefeil på når du øver.
Les også
- Del 1 uten hjelpemidler: slik trener du
- Føring på matteeksamen: slik viser du hvordan du tenker
- Muntlig eksamen i matte: slik forbereder du deg
Ser du en feil? Si fra, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.