Gjennomsnittlig vekstfart: formel og eksempler

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · eksamen: del 1 og del 2

Gjennomsnittlig vekstfart sier hvor mye en funksjon endrer seg per enhet i gjennomsnitt over et intervall. Det er stigningstallet til linja gjennom to punkter på grafen, og det første steget mot derivasjon.

Lær dette i Sophus: 5.1 Gjennomsnittlig vekstfart i Matematikk 1T, med video og øving. Se leksjonen

Formelen

Fra x = a til x = b er den gjennomsnittlige vekstfarten

ΔyΔx = f(b) − f(a)b − a

Linja gjennom (a, f(a)) og (b, f(b)) kalles en sekant, og vekstfarten er stigningstallet til den.

Tolkning med enheter

Enheten er enheten til y per enhet til x: grader per time, kroner per år, meter per sekund. Skriv alltid svaret med enhet og en setning om hva det betyr.

Fra gjennomsnitt til momentan

Lar du b komme nærmere og nærmere a, nærmer den gjennomsnittlige vekstfarten seg den momentane vekstfarten i a. Det er den deriverte, f′(a). Se derivasjonsregler.

Eksempler

Eksempel 1: fra et funksjonsuttrykk

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til f(x) = x² − 2x fra x = 1 til x = 4.

f(4) = 16 − 8 = 8 · f(1) = 1 − 2 = −1

8 − (−1)4 − 1 = 93 = 3

Eksempel 2: i en modell

Temperaturen var 14 °C klokka 08 og 22 °C klokka 12.

22 − 1412 − 8 = 84 = 2

Temperaturen steg i gjennomsnitt med 2 grader per time mellom klokka 08 og 12.

Eksempel 3: mot den momentane vekstfarten

For f(x) = x² fra x = 3 til x = 3,1:

3,1² − 3²0,1 = 9,61 − 90,1 = 6,1

Fra 3 til 3,01 blir det 6,01. Vekstfarten nærmer seg 6, som er f′(3) = 2 · 3.

Vanlige feil

Å dele på f(b) − f(a) i stedet for b − a.
Å trekke fra i ulik rekkefølge oppe og nede.
Å svare uten enhet, eller uten å si hva tallet betyr i situasjonen.

På eksamen

Gjennomsnittlig vekstfart kommer på både del 1 og del 2 i 1T, ofte i en modelloppgave der du skal regne ut og tolke tallet. Fra våren 2027 kan du ikke bruke et digitalt verktøy på del 2, så du regner ut funksjonsverdiene selv, med kalkulator, og skriver svaret med enhet.

I kurset hører temaet til leksjon 5.1 i modulen Vekstfart og derivasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er gjennomsnittlig vekstfart?

Endringen i funksjonsverdi delt på endringen i x: (f(b) − f(a))/(b − a). Det er stigningstallet til sekanten.

Hva er forskjellen på gjennomsnittlig og momentan vekstfart?

Den gjennomsnittlige gjelder over et intervall. Den momentane gjelder i ett punkt og er den deriverte.

Hvilken enhet har vekstfarten?

Enheten til y per enhet til x, for eksempel grader per time eller kroner per år.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.