Derivere potensfunksjoner – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 5 · leksjon 5.5 · eksamen: del 1 og del 2

Potensregelen for derivasjon virker også når eksponenten er negativ eller en brøk. Her lærer du å skrive om brøker og røtter først, derivere og skrive svaret pent tilbake.

Dette er leksjon 5.5 Derivere potensfunksjoner i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Skriv om først

1 delt på x = x opphøyd i ⁻¹, 1 delt på x² = x opphøyd i ⁻² og √x = x opphøyd i ^1⁄2. Det er potensreglene brukt baklengs.

Metoden

Skriv om brøker og røtter til x opphøyd i et tall.
Bruk potensregelen: (xⁿ)' = n · x opphøyd i ^{n − 1}. Eksponenten ned foran, og én mindre oppe.
Skriv svaret tilbake som brøk og rot.

−1 · x opphøyd i ⁻² = −1 delt på x²
1 delt på 2x opphøyd i ^−1⁄2 = 1 delt på 2√x

Linjene viser de deriverte av x opphøyd i ⁻¹ og x opphøyd i ^1⁄2, skrevet tilbake som brøk og rot.

Hvorfor det lønner seg

Med omskrivingen trenger du bare én regel for alle potenser. Uten den må du huske egne regler for 1 delt på x og √x, og det er lett å blande dem.

Den deriverte brukes videre til tangenter og til å finne topp- og bunnpunkter. Da er det en fordel at svaret er skrevet med brøk og rot, så du lett kan sette inn tall.

Eksempler

Eksempel 1: brøk og rot

Deriver f(x) = 8 delt på x + 2√x.

f(x) = 8x opphøyd i ⁻¹ + 2x opphøyd i ^1⁄2
f'(x) = 8 · (−1)x opphøyd i ⁻² + 2 · 1 delt på 2x opphøyd i ^−1⁄2
8 · (−1)x opphøyd i ⁻² + 2 · 1 delt på 2x opphøyd i ^−1⁄2 = −8 delt på x² + 1 delt på √x

Svar: f'(x) = −8 delt på x² + 1 delt på √x

Eksempel 2: en rot i nevneren

Deriver f(x) = 4 delt på √x.

f(x) = 4x opphøyd i ^−1⁄2
f'(x) = 4 · (−1 delt på 2)x opphøyd i ^−3⁄2
4 · (−1 delt på 2)x opphøyd i ^−3⁄2 = −2 delt på x√x

Svar: f'(x) = −2 delt på x√x

−1 delt på 2 − 1 = −3 delt på 2, og x opphøyd i ^3⁄2 = x√x.

Øv selv: 12 oppgaver i derivere potensfunksjoner med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

Å derivere 8 delt på x til 8 eller til 0. Skriv 8x opphøyd i ⁻¹ først, så ser du at svaret blir −8x opphøyd i ⁻².
Å gå feil vei med eksponenten. −1 − 1 er −2, ikke 0.
Å glemme å skrive om før du deriverer.

På eksamen

Derivasjon av potensfunksjoner kommer på del 1. Vis omskrivingen på en egen linje, og skriv svaret uten negative eksponenter til slutt. Det gjør svaret lett å bruke videre, for eksempel til tangenter.

Leksjonen hører til modulen Vekstfart og derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: potensfunksjon negativ eksponent brøkeksponent

Les også

Mer om matte 1T

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.