Optimering: oppgaver med fasit
15 oppgaver i optimering i 1T, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.
Lær dette i Sophus: 5.9 Optimering, 5.10 Den deriverte i praksis i Matematikk 1T, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen
Lettere oppgaver
Oppgave 1
Du har funnet x der f'(x) = 0. Hva gjør du så?
- A: sjekker med fortegn om det er topp eller bunn
- B: deriverer en gang til
- C: ingenting, da er du ferdig
- D: setter x inn i f'(x)
Vis løsning på oppgave 1
Sjekk med fortegnslinje eller to testverdier, og svar så på spørsmålet med enhet.
Fasit: A: sjekker med fortegn om det er topp eller bunn
Oppgave 2
N(t) er antall brukere etter t måneder, og N'(4) = 2 000. Hva betyr det?
- A: Etter 4 måneder øker antall brukere med omtrent 2 000 per måned.
- B: Antall brukere øker med 2 000 på 4 måneder.
- C: Det er 2 000 brukere etter 4 måneder.
- D: Det kommer 2 000 nye brukere hver måned i hele perioden.
Vis løsning på oppgave 2
f'(a) er hvor fort noe endrer seg i øyeblikket a, med enhet y-enhet per x-enhet.
Fasit: A: Etter 4 måneder øker antall brukere med omtrent 2 000 per måned.
Fra leksjon 5.10 Den deriverte i praksis · Se forklaringen i videoen
Oppgave 3
V(t) måles i liter, og t i minutter. Hva er enheten til V'(t)?
- A: minutt per liter
- B: liter
- C: liter · minutt
- D: liter per minutt
Vis løsning på oppgave 3
Enheten er y-enheten per x-enhet: liter per minutt.
Fasit: D: liter per minutt
Fra leksjon 5.10 Den deriverte i praksis · Se forklaringen i videoen
Oppgave 4
N(t) er antall brukere av en app etter t måneder, og N'(5) = 2 000. Hva betyr det?
- A: Antallet har økt med 2 000 brukere totalt.
- B: Etter 5 måneder øker antallet med omtrent 2 000 brukere per måned.
- C: Appen har 2 000 brukere.
Vis løsning på oppgave 4
N'(5) = 2 000 betyr at antallet etter 5 måneder øker med omtrent 2 000 brukere per måned.
Fasit: B: Etter 5 måneder øker antallet med omtrent 2 000 brukere per måned.
Fra leksjon 5.10 Den deriverte i praksis · Se forklaringen i videoen
Oppgave 5
Deriver.
500 delt på x
- A: 500
- B: 500 delt på x²
- C: −500 delt på x²
- D: −500 delt på x
Vis løsning på oppgave 5
(500x⁻¹)' = −500x⁻² = −500 delt på x².
Fasit: C: −500 delt på x²
Middels vanskelige
Oppgave 6
Antall brukere er N(t) = 200t² + 2 000, der t er måneder. Regn ut N'(4).
Vis løsning på oppgave 6
N'(t) = 400t, så N'(4) = 1 600 brukere per måned.
Fasit: 1 600 brukere per måned
Fra leksjon 5.10 Den deriverte i praksis · Se forklaringen i videoen
Oppgave 7
N(t) = 200t² + 1 000 er antall brukere etter t måneder. Hvor mange brukere er det etter 2 måneder?
Vis løsning på oppgave 7
N(2) = 200 · 4 + 1 000 = 1 800.
Fasit: 1 800 brukere
Fra leksjon 5.10 Den deriverte i praksis · Se forklaringen i videoen
Oppgave 8
Høyden til en ball er h(t) = 10t − 5t² meter etter t sekunder. Etter hvor mange sekunder er ballen høyest?
Vis løsning på oppgave 8
h'(t) = 10 − 10t = 0 gir t = 1 sekund.
Fasit: 1 s
Oppgave 9
K(x) = 200 delt på x + 2x har bunnpunkt i x = 10. Hva er den laveste kostnaden per enhet?
Vis løsning på oppgave 9
K(10) = 200 delt på 10 + 20 = 20 + 20 = 40 kr.
Fasit: 40 kr
Oppgave 10
Temperaturen er T(t) = −0,5t² + 4t + 10 grader, t timer etter klokka 8. Finn T'(6).
Vis løsning på oppgave 10
T'(t) = −t + 4, så T'(6) = −2.
Klokka 14 synker temperaturen med 2 grader per time.
Fasit: −2 grader per time
Fra leksjon 5.10 Den deriverte i praksis · Se forklaringen i videoen
Mer krevende
Oppgave 11
Høyden til en ball er h(t) = 20t − 5t² meter etter t sekunder. Etter hvor mange sekunder er ballen høyest?
Vis løsning på oppgave 11
h'(t) = 20 − 10t = 0 gir t = 2 sekunder.
Fasit: 2 s
Oppgave 12
K(x) = 400 delt på x + x har bunnpunkt i x = 20. Hva er den laveste kostnaden per enhet?
Vis løsning på oppgave 12
K(20) = 400 delt på 20 + 20 = 20 + 20 = 40 kr.
Fasit: 40 kr
Oppgave 13
Overskuddet ved å selge x enheter er O(x) = −x² + 40x − 50 kroner. Hvilken x gir størst overskudd?
Vis løsning på oppgave 13
O'(x) = −2x + 40 = 0 gir x = 20.
O' går fra + til −, så det er et toppunkt.
Fasit: 20
Oppgave 14
Kostnaden per enhet er K(x) = 3 600 delt på x + 4x kroner, x > 0. Hvilken x gir lavest kostnad per enhet?
Vis løsning på oppgave 14
K'(x) = −3 600 delt på x² + 4 = 0 gir x² = 900, x = 30.
K' går fra − til +, så det er et bunnpunkt.
Fasit: 30 enheter
Oppgave 15
Kostnaden per enhet er K(x) = 1 600 delt på x + x kroner, x > 0. Hvilken x gir lavest kostnad per enhet?
Vis løsning på oppgave 15
K'(x) = −1 600 delt på x² + 1 = 0 gir x² = 1 600, x = 40.
K' går fra − til +, så det er et bunnpunkt.
Fasit: 40 enheter
Fasit
Vis fasit til alle oppgavene
- Oppgave 1: A: sjekker med fortegn om det er topp eller bunn
- Oppgave 2: A: Etter 4 måneder øker antall brukere med omtrent 2 000 per måned.
- Oppgave 3: D: liter per minutt
- Oppgave 4: B: Etter 5 måneder øker antallet med omtrent 2 000 brukere per måned.
- Oppgave 5: C: −500 delt på x²
- Oppgave 6: 1 600 brukere per måned
- Oppgave 7: 1 800 brukere
- Oppgave 8: 1 s
- Oppgave 9: 40 kr
- Oppgave 10: −2 grader per time
- Oppgave 11: 2 s
- Oppgave 12: 40 kr
- Oppgave 13: 20
- Oppgave 14: 30 enheter
- Oppgave 15: 40 enheter
Oppgavene hører til leksjonene 5.9–5.10 i modulen Vekstfart og derivasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.
Les også
- Optimering – forklart steg for steg
- Den deriverte i praksis – forklart steg for steg
- Sinus, cosinus og tangens: oppgaver med fasit
- Drøfting med den deriverte: oppgaver med fasit
- Alle oppgavene i 1T
- Begrepene i 1T forklart
Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.