Bevis i algebra – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 1 · leksjon 1.10 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Et bevis viser at noe gjelder for alle tall, ikke bare for de du har prøvd. Her lærer du å skrive partall og oddetall med bokstaver, føre et kort bevis og bruke et moteksempel.

Dette er leksjon 1.10 Bevis i algebra i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Partall og oddetall med bokstaver

Alle partall kan skrives 2n, der n er et helt tall. Et oddetall er ett mer, 2n + 1. Oddetallet etter 2n + 1 er 2n + 3. Med n = 3 får du 6, 7 og 9.

2 · 3 = 6
2 · 3 + 1 = 7
2 · 3 + 3 = 9

Eksempler er ikke bevis

1 + 3 = 4 og 5 + 7 = 12 er begge delelige med 4. Men noen eksempler viser ikke at det gjelder for alle tall. Et bevis må bruke bokstaver.

Ett moteksempel er derimot nok til å vise at en påstand er feil.

1 + 3 = 4
5 + 7 = 12

Metoden

Skriv tallene med n: partall 2n, oddetall 2n + 1.
Regn ut, og trekk sammen.
Sett felles faktor utenfor, og forklar hva den viser.

Eksempler

Eksempel 1: to oddetall etter hverandre

Vis at summen av to oddetall som følger etter hverandre, alltid er delelig med 4.

(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4
4n + 4 = 4(n + 1)

Svar: Summen er 4(n + 1). Det er 4 ganger et helt tall, så summen er delelig med 4.

Eksempel 2: et moteksempel

Påstand: Summen av to partall er alltid delelig med 4. Stemmer det?

2 + 4 = 6
2n + 2m = 2(n + m)

Svar: Nei. 2 + 4 = 6, og 6 er ikke delelig med 4. Summen er alltid delelig med 2, men ikke alltid med 4.

To partall som ikke henger sammen, får hver sin bokstav: 2n og 2m.

Øv selv: 15 oppgaver i identiteter og bevis i algebra med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

Å prøve noen tall og tro at det er et bevis.
Å kalle begge oddetallene 2n + 1. Da blir de det samme tallet, og summen 4n + 2 sier ingenting om to ulike oddetall.
Å stoppe ved 4n + 4 uten å sette 4 utenfor og forklare hva det betyr.

På eksamen

Bevisoppgaver kommer på del 1. Skriv hva n står for, regn ut linje for linje, og avslutt med en setning som sier hva du har vist. Ord som «derfor» og «altså» gjør beviset lett å følge.

Leksjonen hører til modulen Algebra og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: bevis moteksempel partall oddetall

Les også

Mer om matte 1T

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.