Kvadratsetningene: første, andre og konjugatsetningen

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · eksamen: del 1

Kvadratsetningene er tre snarveier for å gange ut parenteser. De er viktige fordi du må kunne bruke dem begge veier: for å gange ut og for å faktorisere.

Lær dette i Sophus: 1.4 Kvadratsetningene i Matematikk 1T, med video og øving. Se leksjonen

De tre setningene

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. (a − b)² = a² − 2ab + b²

3. (a + b)(a − b) = a² − b² (konjugatsetningen)

Hvorfor det stemmer

Gang ut (a + b)(a + b) ledd for ledd: a · a + a · b + b · a + b · b = a² + 2ab + b². Det midterste leddet, 2ab, er det mange glemmer. I konjugatsetningen blir +ab og −ab borte, og bare a² − b² står igjen.

Begge veier

Ser du et uttrykk som x² − 16 eller x² − 6x + 9, kan du bruke setningene baklengs og faktorisere: x² − 16 = (x + 4)(x − 4) og x² − 6x + 9 = (x − 3)². Det trenger du for å forkorte brøker og løse ligninger.

Eksempler

Eksempel 1: første kvadratsetning

(x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25

Eksempel 2: andre kvadratsetning

(3x − 2)² = (3x)² − 2 · 3x · 2 + 2² = 9x² − 12x + 4

Husk at (3x)² = 9x².

Eksempel 3: konjugatsetningen i hoderegning

Regn ut 51 · 49 uten kalkulator.

(50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2 500 − 1 = 2 499

Eksempel 4: baklengs: faktoriser

x² − 16 = (x + 4)(x − 4) · x² − 6x + 9 = (x − 3)²

I det andre uttrykket er 9 = 3² og 6x = 2 · x · 3, så det passer med andre kvadratsetning.

Vanlige feil

Å skrive (x + 5)² = x² + 25. Det midterste leddet 10x mangler.
Å glemme å kvadrere tallet foran x: (3x)² = 9x², ikke 3x².
Å skrive x² + 16 = (x + 4)(x − 4). Konjugatsetningen gir minus, og x² + 16 kan ikke faktoriseres slik.
Å glemme fortegnet på 2ab i andre kvadratsetning.

På eksamen

Kvadratsetningene brukes på del 1 i 1T i nesten alle algebraoppgaver: gange ut, faktorisere, forkorte brøkuttrykk og løse andregradsligninger. Eksamen spør ofte om å forkorte et brøkuttrykk der du må se konjugatsetningen. Bevisoppgaver kan be deg vise at en setning stemmer, for eksempel med et kvadrat delt i fire rektangler.

I kurset hører temaet til leksjon 1.4 i modulen Algebra, som øves til del 1. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er første kvadratsetning?

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Hva er konjugatsetningen?

(a + b)(a − b) = a² − b². Den kalles også tredje kvadratsetning.

Hvordan ser jeg at jeg kan bruke en kvadratsetning baklengs?

Se etter to kvadrattall med minus mellom (konjugatsetningen), eller tre ledd der første og siste er kvadrater og midterste er to ganger produktet av røttene.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.