Bevis for cosinussetningen – forklart steg for steg
Cosinussetningen kan bevises med Pytagoras og enhetssirkelen. Her lærer du beviset steg for steg, og hvorfor Pytagoras er et spesialtilfelle.
Dette er leksjon 6.9 Bevis for cosinussetningen i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Ideen
Legg trekanten i et koordinatsystem. Da er siden a avstanden mellom to punkter, og den finner du med Pytagoras: avstanden i andre er forskjellen i x i andre pluss forskjellen i y i andre.
Metoden
- Legg A i origo og B i punktet (c, 0).
- C ligger i punktet (b · cos A, b · sin A), som på enhetssirkelen, men med lengde b.
- Regn ut a² som forskjellen i x i andre pluss forskjellen i y i andre, og bruk at cos² A + sin² A = 1.
Pytagoras som spesialtilfelle
Er A = 90°, er cos A = 0. Da forsvinner leddet 2bc · cos A, og igjen står a² = b² + c². Cosinussetningen er en utvidelse av Pytagoras.
cos 90° = 0
Eksempler
Eksempel 1: beviset
Legg A i origo og B i (c, 0). Da er C i punktet (b · cos A, b · sin A). Vis at a² = b² + c² − 2bc · cos A.
(c − b · cos A)² + (b · sin A)² = c² − 2bc · cos A + b²(cos² A + sin² A)
c² − 2bc · cos A + b²(cos² A + sin² A) = b² + c² − 2bc · cos A
Svar: Avstanden fra B til C gir a² = b² + c² − 2bc · cos A, fordi cos² A + sin² A = 1.
Eksempel 2: 60 grader
Hva blir cosinussetningen når A = 60°?
2 · cos 60° = 1
b² + c² − 2bc · cos 60° = b² + c² − bc
Svar: a² = b² + c² − bc
Øv selv: 15 oppgaver i cosinussetningen med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å glemme det dobbelte produktet når (c − b · cos A)² ganges ut.
- Å ikke bruke at cos² A + sin² A = 1, så uttrykket ikke blir enkelt.
- Å skrive koordinatene til C feil vei: x-koordinaten er b · cos A, og y-koordinaten er b · sin A.
På eksamen
Beviset for cosinussetningen kan komme på del 1. Tegn koordinatsystemet med alle tre punktene, skriv avstandsformelen og gang ut med kvadratsetningen. Pek tydelig på linjen der du bruker cos² A + sin² A = 1.
Leksjonen hører til modulen Trigonometri og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.
Les også
- Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter
- Finne vinkler – forklart steg for steg
- Eksakte verdier og stumpe vinkler – forklart steg for steg
- Arealsetningen: areal av en trekant med sinus
- Sinussetningen: når og hvordan du bruker den
- Sinussetningen med to løsninger – forklart steg for steg
- Cosinussetningen: finn sider og vinkler
- Bevis for arealsetningen og sinussetningen – forklart steg for steg
- Sammensatte problemer – forklart steg for steg
- Cosinussetningen: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i 1T
Mer om matte 1T
- Alle modulene i matte 1T
- Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for 1T
- Begrepene i 1T forklart
- De 10 vanligste feilene i 1T
- Temaer i 1T forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.