Cosinussetningen: finn sider og vinkler

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · eksamen: del 2

Cosinussetningen er en utvidelse av Pytagoras som gjelder alle trekanter. Du bruker den når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sidene.

Lær dette i Sophus: 6.7 Cosinussetningen i Matematikk 1T, med video og øving. Se leksjonen

Formelen

c² = a² + b² − 2ab · cos C

C er vinkelen mellom a og b, og c er siden overfor C. Er C = 90°, er cos C = 0, og du får Pytagoras.

Finne en vinkel

Snu formelen når du kjenner alle tre sidene:

cos C = a² + b² − c²2ab

Her gir cosinus bare én vinkel mellom 0° og 180°, så du slipper to løsninger.

Eksempler

Eksempel 1: uten kalkulator

a = 5, b = 8 og C = 60°. Finn c. cos 60° = 12.

c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 12 = 89 − 40 = 49 · c = 7

Eksempel 2: stump vinkel

a = 6, b = 9 og C = 110°. Finn c.

c² = 36 + 81 − 108 · cos 110° ≈ 153,94 · c ≈ 12,41

cos 110° er negativ, så c² blir større enn 36 + 81. Det stemmer med at siden overfor en stump vinkel er lang.

Eksempel 3: finn en vinkel

Sidene er a = 7, b = 8 og c = 10. Finn vinkelen C overfor c.

cos C = 49 + 64 − 1002 · 7 · 8 = 13112 ≈ 0,1161 · C ≈ 83,3°

Vanlige feil

Å ta kvadratroten for tidlig, eller glemme den til slutt.
Å regne 89 − 40 · cos 60° som (89 − 40) · cos 60°. Ganging først.
Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene.

På eksamen

Cosinussetningen kommer på del 2 i 1T, og på del 1 med vinkler som 60° og 120°, der du bruker eksakte verdier. Beviset (med Pytagoras i to rettvinklede trekanter) er en egen leksjon og kan komme på del 1. Fra våren 2027 regner du del 2 med en enkel vitenskapelig kalkulator, så skriv mellomsvarene med nok desimaler.

I kurset hører temaet til leksjon 6.7 i modulen Trigonometri, som øves til del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er cosinussetningen?

c² = a² + b² − 2ab · cos C, der C er vinkelen mellom sidene a og b.

Når bruker jeg cosinussetningen?

Når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sidene.

Hva har cosinussetningen med Pytagoras å gjøre?

Er vinkelen C 90°, er cos C = 0, og formelen blir c² = a² + b², som er Pytagoras.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.