Bevis for arealsetningen og sinussetningen – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 6 · leksjon 6.8 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Et bevis viser at en setning gjelder for alle trekanter. Her lærer du å bevise arealsetningen og sinussetningen med én idé: høyden i trekanten.

Dette er leksjon 6.8 Bevis for arealsetningen og sinussetningen i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Hva er et bevis?

Et bevis bruker bokstaver, ikke tall. Hjørnene er A, B og C, og sidene er a, b og c. Tall kan brukes til å sjekke, men de beviser ingenting.

Metoden

1. Trekk høyden h fra hjørnet C, vinkelrett ned på siden AB.
2. I den rettvinklede trekanten til venstre er b hypotenusen. Da er h = b · sin A.
3. Bruk høyden i formelen for arealet, eller skriv den på to måter.

Beviset for sinussetningen

I trekanten til høyre er a hypotenusen, så h = a · sin B. Det er den samme høyden, så b · sin A = a · sin B. Del på sin A · sin B, så får du a delt på sin A = b delt på sin B.

Eksempler

Eksempel 1: arealsetningen

Vis arealsetningen. Trekk høyden h fra C ned på AB i trekant ABC, der AC = b og AB = c.

h = b · sin A
T = 1 delt på 2 · c · h
T = 1 delt på 2 · b · c · sin A

Svar: T = 1 delt på 2 · b · c · sin A. Høyden er b · sin A, og arealet er grunnlinja ganger høyden delt på 2.

Eksempel 2: sjekk med tall

Sjekk arealsetningen med b = 5, c = 7 og A = 40°.

h = 5 · sin 40° ≈ 3,21
1 delt på 2 · 7 · 5 · sin 40° ≈ 11,25

Svar: Arealet er omtrent 11,25.

Tallene viser at formelen stemmer for denne trekanten, men de beviser den ikke. Beviset er utregningen med bokstaver.

Øv selv: 15 oppgaver i arealsetningen med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å vise setningen med tall i stedet for med bokstaver.
• Å bruke en høyde som ikke står vinkelrett på grunnlinja.
• Å glemme å forklare hvorfor h = b · sin A: b er hypotenusen og h er motstående katet.

På eksamen

Bevis kommer på del 1. Tegn figuren med høyden, skriv hvilke trekanter du bruker, og regn med bokstaver linje for linje. Avslutt med en setning om hva du har vist.

Leksjonen hører til modulen Trigonometri og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: høyde bevis

Les også

• Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter
• Finne vinkler – forklart steg for steg
• Eksakte verdier og stumpe vinkler – forklart steg for steg
• Arealsetningen: areal av en trekant med sinus
• Sinussetningen: når og hvordan du bruker den
• Sinussetningen med to løsninger – forklart steg for steg
• Cosinussetningen: finn sider og vinkler
• Bevis for cosinussetningen – forklart steg for steg
• Sammensatte problemer – forklart steg for steg
• Arealsetningen: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.