Hopp til innholdet

Cosinussetningen: oppgaver med fasit

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i cosinussetningen i 1T, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 6.7 Cosinussetningen, 6.9 Bevis for cosinussetningen, 6.10 Sammensatte problemer i Matematikk 1T, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

A ligger i origo, og AB ligger langs x-aksen. AC = b. Hvor ligger C?

  1. A: (b · sin A, b · cos A)
  2. B: (b · cos A, b · sin A)
  3. C: (cos A, sin A)
  4. D: (b, A)
Vis løsning på oppgave 1

Som på enhetssirkelen, men ganget med lengden b.

Fasit: B: (b · cos A, b · sin A)

Fra leksjon 6.9 Bevis for cosinussetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Når skal du runde av i en sammensatt oppgave?

  1. A: bare i det endelige svaret
  2. B: aldri
  3. C: etter hvert steg
  4. D: før du starter
Vis løsning på oppgave 2

Regn videre med alle desimalene, og rund av bare i svaret.

Fasit: A: bare i det endelige svaret

Fra leksjon 6.10 Sammensatte problemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

I den skjeve trekanten kjenner du en side og to vinkler. Hvilken setning bruker du?

  1. A: sinussetningen
  2. B: cosinussetningen
  3. C: arealsetningen
  4. D: Pytagoras
Vis løsning på oppgave 3

Med to vinkler finner du den tredje, og da har du et helt par: sinussetningen.

Fasit: A: sinussetningen

Fra leksjon 6.10 Sammensatte problemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Gang ut (c − b · cos A)².

  1. A: c² − bc · cos A + b² · cos² A
  2. B: c² − b² · cos² A
  3. C: c² − 2bc · cos A + b² · cos² A
  4. D: c² + b² · cos² A
Vis løsning på oppgave 4

Andre kvadratsetning: (x − y)² = x² − 2xy + y².

Fasit: C: c² − 2bc · cos A + b² · cos² A

Fra leksjon 6.9 Bevis for cosinussetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Regn ut sin² 130° + cos² 130°.

Vis løsning på oppgave 5

Punktet (cos v, sin v) ligger på enhetssirkelen, så sin² v + cos² v = 1.

Fasit: 1

Fra leksjon 6.9 Bevis for cosinussetningen · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Fra det nærmeste punktet ser du toppen i 55°. Hvor stor er vinkelen ved dette punktet inne i den skjeve trekanten?

Vis løsning på oppgave 6

180° − 55° = 125°.

Fasit: 125 grader

Fra leksjon 6.10 Sammensatte problemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

b = 4, c = 8 og A = 60°. Finn a² uten kalkulator.

Vis løsning på oppgave 7

a² = 16 + 64 − 2 · 4 · 8 · 1 delt på 2 = 48.

Fasit: 48

Fra leksjon 6.7 Cosinussetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

En elev regner a² = (5² + 7² − 2 · 5 · 7) · cos 40°. Hva er galt?

  1. A: 2 · 5 · 7 skal ganges med cos 40° før det trekkes fra
  2. B: ingenting
  3. C: det skal være pluss
  4. D: det skal være sin 40°
Vis løsning på oppgave 8

Ganging før minus: a² = 25 + 49 − 70 · cos 40° ≈ 20,38.

Fasit: A: 2 · 5 · 7 skal ganges med cos 40° før det trekkes fra

Fra leksjon 6.7 Cosinussetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Hva blir b² · cos² A + b² · sin² A?

  1. A: b
  2. B: b²
  3. C: 2b²
  4. D: b² · cos A
Vis løsning på oppgave 9

b²(cos² A + sin² A) = b² · 1 = b².

Fasit: B: b²

Fra leksjon 6.9 Bevis for cosinussetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

En elev skriver (c − b · cos A)² = c² + b² · cos² A. Hva skjer med beviset?

  1. A: leddet −2bc · cos A forsvinner, og beviset går ikke opp
  2. B: sin A forsvinner
  3. C: ingenting, det er riktig
  4. D: a blir negativ
Vis løsning på oppgave 10

(c − b · cos A)² = c² − 2bc · cos A + b² · cos² A.

Uten midtleddet får du ikke cosinussetningen.

Fasit: A: leddet −2bc · cos A forsvinner, og beviset går ikke opp

Fra leksjon 6.9 Bevis for cosinussetningen · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

To sider er 6 og 10, og vinkelen mellom dem er 70°. Finn den tredje siden. Svar med én desimal.

Vis løsning på oppgave 11

a² = 6² + 10² − 2 · 6 · 10 · cos 70° ≈ 94,96, a ≈ 9,7.

Fasit: 9,7

Fra leksjon 6.7 Cosinussetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

En trekant har sidene 5, 3 og 7. Finn vinkelen overfor siden 7.

Vis løsning på oppgave 12

cos v = 5² + 3² − 7² delt på 2 · 5 · 3 = −1 delt på 2, så v = 120°.

Fasit: 120 grader

Fra leksjon 6.7 Cosinussetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Hva blir cosinussetningen når A = 90°?

  1. A: a² = b² − c²
  2. B: a² = b² + c² − 2bc
  3. C: a² = b² + c²
  4. D: a = b + c
Vis løsning på oppgave 13

cos 90° = 0, så a² = b² + c².

Det er Pytagoras.

Fasit: C: a² = b² + c²

Fra leksjon 6.7 Cosinussetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Du ser toppen av et tårn i 25°, går nærmere og ser den i 35°. Hvor stor er vinkelen i toppen av den skjeve trekanten?

Vis løsning på oppgave 14

Vinkelen ved det nærmeste punktet er 180° − 35° = 145°.

I toppen: 180° − 25° − 145° = 10°.

Fasit: 10 grader

Fra leksjon 6.10 Sammensatte problemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Fra et punkt ser du toppen av et tårn i 35°. Du går 40 m nærmere og ser toppen i 55°. Hvor høyt er tårnet? Svar med én desimal.

Vis løsning på oppgave 15

Vinkelen i toppen: 55° − 35° = 20°. d = 40 · sin 35° delt på sin 20° ≈ 67,08. h = d · sin 55° ≈ 54,9 m.

Fasit: 54,9 m

Fra leksjon 6.10 Sammensatte problemer · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: B: (b · cos A, b · sin A)
  2. Oppgave 2: A: bare i det endelige svaret
  3. Oppgave 3: A: sinussetningen
  4. Oppgave 4: C: c² − 2bc · cos A + b² · cos² A
  5. Oppgave 5: 1
  6. Oppgave 6: 125 grader
  7. Oppgave 7: 48
  8. Oppgave 8: A: 2 · 5 · 7 skal ganges med cos 40° før det trekkes fra
  9. Oppgave 9: B: b²
  10. Oppgave 10: A: leddet −2bc · cos A forsvinner, og beviset går ikke opp
  11. Oppgave 11: 9,7
  12. Oppgave 12: 120 grader
  13. Oppgave 13: C: a² = b² + c²
  14. Oppgave 14: 10 grader
  15. Oppgave 15: 54,9 m

Oppgavene hører til leksjonene 6.7–6.10 i modulen Trigonometri, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.