Arealsetningen: areal av en trekant med sinus

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · eksamen: del 1 og del 2

Når du kjenner to sider i en trekant og vinkelen mellom dem, finner du arealet med arealsetningen. Du trenger ikke høyden, og trekanten trenger ikke være rettvinklet.

Lær dette i Sophus: 6.4 Arealsetningen i Matematikk 1T, med video og øving. Se leksjonen

Formelen

A = 12 · a · b · sin C

a og b er to sider, og C er vinkelen mellom dem.

Hvor den kommer fra

Arealet er 12 · grunnlinje · høyde. Med grunnlinje a er høyden h = b · sin C, fordi h er motstående katet til C i en rettvinklet trekant med hypotenus b. Setter du inn, får du arealsetningen. Dette beviset er en egen leksjon, og det kan komme på del 1.

Eksempler

Eksempel 1: uten kalkulator

To sider er 8 og 5, og vinkelen mellom dem er 30°. sin 30° = 12.

A = 12 · 8 · 5 · 12 = 10

Eksempel 2: stump vinkel

To sider er 7 og 9, og vinkelen mellom dem er 110°.

A = 12 · 7 · 9 · sin 110° ≈ 29,6

Eksempel 3: finn vinkelen fra arealet

En trekant har areal 12, og to sider er 6 og 8. Hvor stor er vinkelen mellom dem?

12 = 12 · 6 · 8 · sin C · sin C = 1224 = 0,5

C = 30° eller C = 150°. Begge gir en trekant med areal 12.

Vanlige feil

Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene.
Å glemme 12.
Å glemme den andre vinkelen når du finner en vinkel fra sinus: sin C = 0,5 gir både 30° og 150°.

På eksamen

Arealsetningen kommer på både del 1 og del 2 i 1T. På del 1 er vinkelen 30°, 45°, 60°, 120° eller 150°, så du bruker eksakte verdier. Beviset for arealsetningen er også pensum og kan komme på del 1. På del 2 bruker du den i sammensatte figurer, og fra våren 2027 med en enkel vitenskapelig kalkulator.

I kurset hører temaet til leksjon 6.4 i modulen Trigonometri, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er arealsetningen?

Arealet av en trekant er A = ½ · a · b · sin C, der C er vinkelen mellom sidene a og b.

Må trekanten være rettvinklet?

Nei. Arealsetningen gjelder alle trekanter.

Hvorfor kan det være to vinkler?

Fordi sin v = sin(180° − v). Har du sin C = 0,5, kan C være 30° eller 150°.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.