Kuleflater – forklart steg for steg
En kuleflate er alle punktene som ligger like langt fra et sentrum. Her lærer du å kjenne igjen likningen og finne sentrum og radius, også når likningen er ganget ut.
Dette er leksjon 8.8 Kuleflater i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Alle punkter like langt unna
Avstanden fra punktet (x, y, z) til sentrum (a, b, c) skal være radien r. Kvadrerer du avstandsformelen, får du likningen for kuleflaten.
Reglene
- Likningen er (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r².
- Sentrum er (a, b, c), og radien er r.
- Står likningen ganget ut, lager du fullstendige kvadrater.
Fullstendige kvadrater
Et fullstendig kvadrat lager du ved å ta halvparten av tallet foran x, kvadrere det, og legge til og trekke fra det samme tallet. Da blir x² − 2x til (x − 1)² − 1. Gjør det samme for y og z, og samle tallene på høyre side.
Eksempler
Eksempel 1: fullstendige kvadrater
Finn sentrum og radius til x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = 0.
x² − 2x = (x − 1)² − 1
y² + 4y = (y + 2)² − 4
x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = (x − 1)² + (y + 2)² + z² − 9
√9 = 3
Svar: Sentrum er (1, −2, 0), og radien er 3.
Likningen blir (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9.
Eksempel 2: ligger punktet på kula?
Ligger punktet (1, 1, 0) på kuleflaten (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9?
(1 − 1)² + (1 + 2)² + 0² = 9
Svar: Ja. Venstre side blir 9, som er r².
Øv selv: 15 oppgaver i skjæring, avstand og kuleflater med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å lese sentrum med feil fortegn. Står det y + 2, er b = −2.
- Å svare r = 9 uten å ta roten.
- Å glemme å trekke fra tallet du legger til når du lager et fullstendig kvadrat.
På eksamen
Kuleflater kommer på del 1 og del 2. Vis de fullstendige kvadratene linje for linje, og skriv sentrum og radius tydelig til slutt.
Leksjonen hører til modulen Vektorer i rommet og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Begreper: kuleflate sentrum radius fullstendige kvadrater
Les også
- Vektorer i rommet – forklart steg for steg
- Skalarprodukt og vinkler i rommet – forklart steg for steg
- Vektorproduktet (kryssprodukt) i rommet
- Areal og volum med vektorprodukt – forklart steg for steg
- Linjer i rommet – forklart steg for steg
- Likningen for et plan – forklart steg for steg
- Skjæring og avstand – forklart steg for steg
- Skjæring, avstand og kuleflater: oppgaver med fasit
- Vektorer i rommet: en enkel innføring · blogg
- Prøv en gratis oppgave i R2
Mer om matte R2
- Alle modulene i matte R2
- Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R2
- Begrepene i R2 forklart
- De 10 vanligste feilene i R2
- Temaer i R2 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.