Linjer i rommet – forklart steg for steg
En linje i rommet er bestemt av et punkt og en retningsvektor, som i planet. Her lærer du å skrive parameterframstillingen og sjekke om et punkt ligger på linjen.
Dette er leksjon 8.5 Linjer i rommet i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Som i planet, med én koordinat til
Du starter i punktet og går t ganger retningsvektoren. Både punktet og vektoren har tre koordinater, så du får tre likninger: én for x, én for y og én for z.
Reglene
- x = x₀ + at, y = y₀ + bt og z = z₀ + ct, der (x₀, y₀, z₀) er punktet og [a, b, c] er retningsvektoren.
- Den samme t brukes i alle tre likningene.
- Et punkt ligger på linjen hvis den samme t gir alle tre koordinatene.
Eksempler
Eksempel 1: parameterframstilling
Finn en parameterframstilling for linjen gjennom (1, 2, 3) med retningsvektor [2, −1, 1].
1 + 2 · 0 = 1
2 − 0 = 2
3 + 0 = 3
Svar: x = 1 + 2t, y = 2 − t, z = 3 + t
Linjene over er en sjekk: med t = 0 får du punktet (1, 2, 3).
Eksempel 2: ligger punktet på linjen?
Ligger punktet (5, 0, 5) på linjen x = 1 + 2t, y = 2 − t, z = 3 + t?
1 + 2t = 5
t = 2
2 − 2 = 0
3 + 2 = 5
Svar: Ja. t = 2 gir alle tre koordinatene, så punktet ligger på linjen.
Øv selv: 15 oppgaver i linjer og plan i rommet med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å finne t fra hver koordinat for seg og si ja selv om t blir ulik.
- Å bytte om punktet og retningsvektoren.
- Å bruke ulike bokstaver for parameteren i de tre likningene.
På eksamen
Linjer i rommet kommer på del 1 og del 2, ofte sammen med plan og skjæringspunkter. Skriv alle tre likningene, og vis at den samme t passer når du sjekker et punkt.
Leksjonen hører til modulen Vektorer i rommet og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Begreper: parameterframstilling retningsvektor
Les også
- Vektorer i rommet – forklart steg for steg
- Skalarprodukt og vinkler i rommet – forklart steg for steg
- Vektorproduktet (kryssprodukt) i rommet
- Areal og volum med vektorprodukt – forklart steg for steg
- Likningen for et plan – forklart steg for steg
- Skjæring og avstand – forklart steg for steg
- Kuleflater – forklart steg for steg
- Linjer og plan i rommet: oppgaver med fasit
- Vektorer i rommet: en enkel innføring · blogg
- Prøv en gratis oppgave i R2
Mer om matte R2
- Alle modulene i matte R2
- Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R2
- Begrepene i R2 forklart
- De 10 vanligste feilene i R2
- Temaer i R2 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.