Likningen for et plan – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 8 · leksjon 8.6 · eksamen: del 1 og del 2

Et plan er en flat flate i rommet. Her lærer du å sette opp likningen for et plan ut fra et punkt og en normalvektor, og å finne normalvektoren når du har tre punkter.

Dette er leksjon 8.6 Likningen for et plan i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Normalvektoren

En normalvektor står vinkelrett på planet, som et bein under et bord. For et punkt (x, y, z) i planet ligger vektoren fra det kjente punktet i planet. Den står vinkelrett på normalvektoren, så skalarproduktet er 0. Det gir likningen.

Reglene

1. Med normalvektor [a, b, c] og punktet (x₀, y₀, z₀) er likningen a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0.
2. Har du tre punkter A, B og C, er normalvektoren AB × AC.
3. Sjekk at punktene passer i likningen.

Eksempler

Eksempel 1: punkt og normalvektor

Finn likningen for planet gjennom (1, 0, 2) med normalvektor [2, −1, 3].

2(x − 1) − (y − 0) + 3(z − 2) = 2x − y + 3z − 8
2 · 1 − 0 + 3 · 2 − 8 = 0

Svar: 2x − y + 3z − 8 = 0

Den siste linjen sjekker at punktet (1, 0, 2) ligger i planet.

Eksempel 2: gjennom tre punkter

Finn planet gjennom A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) og C(0, 0, 2).

2 · 2 − 0 · 0 = 4
0 · (−1) − (−1) · 2 = 2
(−1) · 0 − 2 · (−1) = 2
4(x − 1) + 2y + 2z = 2(2x + y + z − 2)

Svar: 2x + y + z − 2 = 0

AB = [−1, 2, 0] og AC = [−1, 0, 2], og AB × AC = [4, 2, 2]. Til slutt deler du likningen på 2.

Øv selv: 15 oppgaver i linjer og plan i rommet med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke en vektor i planet, som AB, som normalvektor. Normalvektoren står vinkelrett på planet.
• Å sette inn punktet med feil fortegn. Det står x − x₀.
• Å glemme å sjekke at alle punktene passer i likningen.

På eksamen

Planlikninger kommer på del 1 og del 2. Vis vektorproduktet koordinat for koordinat, og sjekk til slutt at punktene passer. Det gir deg en kontroll uten hjelpemidler.

Leksjonen hører til modulen Vektorer i rommet og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: plan normalvektor

Les også

• Vektorer i rommet – forklart steg for steg
• Skalarprodukt og vinkler i rommet – forklart steg for steg
• Vektorproduktet (kryssprodukt) i rommet
• Areal og volum med vektorprodukt – forklart steg for steg
• Linjer i rommet – forklart steg for steg
• Skjæring og avstand – forklart steg for steg
• Kuleflater – forklart steg for steg
• Linjer og plan i rommet: oppgaver med fasit
• Vektorer i rommet: en enkel innføring · blogg
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.