Parameterframstilling av kurver – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 9 · leksjon 9.1 · eksamen: del 1 og del 2

En kurve kan beskrives med en parameter t, der x og y begge avhenger av t. Her lærer du å kjenne igjen en sirkel, og å finne likningen ved å eliminere t.

Dette er leksjon 9.1 Parameterframstilling av kurver i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

En sirkel med cos og sin

På enhetssirkelen er punktet (cos t, sin t). Ganger du begge med r, får du en sirkel med radius r. Når t går fra 0 til 2π, går punktet én runde rundt.

Reglene

x = r cos t og y = r sin t er en sirkel med sentrum i origo og radius r.
Du finner likningen ved å eliminere t, for eksempel med sin² t + cos² t = 1.
Parameteren t sier hvor på kurven punktet er.

Eksempler

Eksempel 1: en sirkel

Hvilken kurve er x = 2 cos t, y = 2 sin t?

(2 cos t)² + (2 sin t)² = 4 cos² t + 4 sin² t
4 cos² t + 4 sin² t = 4

Svar: x² + y² = 4. Det er en sirkel med sentrum i origo og radius 2.

Eksempel 2: en parabel

Hvilken kurve er x = t, y = t²?

t = x
y = x²

Svar: Kurven er parabelen y = x².

Her kan du eliminere t direkte: Fra x = t får du t = x, som du setter inn i y.

Øv selv: 15 oppgaver i parameterframstilling og bevegelse med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

Å si at radien er 4 fordi det står 4 i likningen. 4 er r², så radien er 2.
Å tro at kurven er en linje fordi både x og y avhenger av t.
Å glemme at t går fra 0 til 2π for en hel runde.

På eksamen

Parameterframstillinger kommer på del 1 og del 2. Vis hvordan du eliminerer t, og beskriv kurven med ord: hvilken type, sentrum og radius. Fra våren 2027 skisserer du kurven for hånd.

Leksjonen hører til modulen Kurver og bevegelse og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: parameterkurve sirkel

Les også

Mer om matte R2

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.