Temaer › Matematikk R2

Vektorproduktet (kryssprodukt) i rommet

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1

Vektorproduktet av to vektorer i rommet er en ny vektor som står vinkelrett på begge. Lengden er arealet av parallellogrammet vektorene utspenner.

Lær dette i Sophus: 8.3 Vektorproduktet i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

Formelen

[a₁, a₂, a₃] × [b₁, b₂, b₃] = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁]

Mange regner det som en determinant. Bytter du rekkefølgen, bytter vektoren retning: b × a = −(a × b).

Hva det brukes til

• Normalvektor til et plan som inneholder a og b.
• Areal av parallellogrammet: |a × b|. Trekanten er halvparten.
• Volum av parallellepipedet: |(a × b) · c|. Pyramiden med trekantet grunnflate (tetraederet) er en sjettedel.

Høyrehåndsregelen

Retningen til a⃗ × b⃗ finner du med høyre hånd: pek med fingrene langs a⃗, bøy dem mot b⃗, og tommelen peker i retningen til vektorproduktet. Derfor bytter vektoren retning når du bytter rekkefølgen. Lengden er |a⃗| · |b⃗| · sin v, der v er vinkelen mellom vektorene. Er vektorene parallelle, er sin v = 0, og vektorproduktet er nullvektoren. Det kan du bruke for å sjekke om tre punkter ligger på en linje.

Eksempler

Eksempel 1: regn ut og kontroller

[1, 2, 3] × [4, 5, 6] = [2 · 6 − 3 · 5, 3 · 4 − 1 · 6, 1 · 5 − 2 · 4] = [−3, 6, −3]

Kontroll: [−3, 6, −3] · [1, 2, 3] = −3 + 12 − 9 = 0, så den står vinkelrett på den første vektoren.

Eksempel 2: areal

Arealet av parallellogrammet utspent av [1, 2, 3] og [4, 5, 6]:

|[−3, 6, −3]| = √(9 + 36 + 9) = √54 ≈ 7,35

Trekanten med de to vektorene som sider har areal omtrent 3,67.

Eksempel 3: volum

Med c = [1, 0, 2] er

(a × b) · c = −3 · 1 + 6 · 0 − 3 · 2 = −9

Parallellepipedet har volum 9, og tetraederet 96 = 1,5.

Vanlige feil

• Å bytte rekkefølgen i koordinatene, så fortegnet blir feil.
• Å blande vektorprodukt (en vektor) og skalarprodukt (et tall).
• Å glemme tallverdien når volumet blir negativt.

På eksamen

Vektorproduktet kommer på del 1 og del 2 i R2, særlig for å finne normalvektoren til et plan og regne areal og volum. Fra våren 2027 kan du ikke bruke CAS til å regne det ut på del 2, så sett opp koordinatene ryddig og kontroller med skalarproduktet.

I kurset hører temaet til leksjon 8.3 i modulen Vektorer i rommet, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Les også

• Skalarprodukt av vektorer · Matematikk R1
• Parameterframstilling for en linje · Matematikk R1
• Integrasjonsregler og ubestemte integraler
• Formelark for R2
• Eksamen i R2
• Alle temaene

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.