De 10 vanligste feilene i matte R2
Her er ti typiske feil i R2 som kan koste poeng på eksamen. Vi har valgt dem ut fra kurset, fordi de går igjen i flere leksjoner og oppgavetyper. For hver feil ser du en feil og en riktig utregning side om side, hvorfor feilen skjer, og en liten oppgave du kan øve på.
Ganger med 180 delt på π når du skal gjøre om til radianer
Oppgave: Gjør om 135° til radianer.
Feil
135 · 180 delt på π ≈ 7 735
Omtrent 7 735 radianer
Riktig
180° er π radianer, så du ganger med π delt på 180:
135 · π delt på 180 = 3π delt på 4
3π delt på 4
Slik unngår du feilen: Fra grader til radianer ganger du med π delt på 180, og du kan sjekke svaret, for en vinkel under 360° gir alltid under 2π ≈ 6,28.
Lær mer: Leksjon 1.1 Radianer (med video)
Øv selv: Gjør om 210° til radianer.
Vis svaret
210 · π delt på 180 = 7π delt på 6
Svar: 7π delt på 6
Finner bare én løsning av en sinuslikning
Oppgave: Løs sin x = 1 delt på 2 for x ∈ [0, 2π⟩.
Feil
sin x = 1 delt på 2
x = π delt på 6
x = π delt på 6
Riktig
Sinus er positiv i både første og andre kvadrant:
sin x = 1 delt på 2
x = π delt på 6 eller x = π − π delt på 6
x = π delt på 6 eller x = 5π delt på 6
x = π delt på 6 eller x = 5π delt på 6
Slik unngår du feilen: Kalkulatoren gir bare én vinkel, så tegn enhetssirkelen og finn den andre: π − v for sinus og 2π − v for cosinus.
Lær mer: Leksjon 1.3 Likninger med sinus (med video) · Leksjon 1.4 Likninger med cosinus og tangens (med video) · Trigonometriske likninger: sin x, cos x og tan x
Øv selv: Løs cos x = 1 delt på 2 for x ∈ [0, 2π⟩.
Vis svaret
x = π delt på 3 eller x = 2π − π delt på 3
x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3
Svar: x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3
Glemmer minus når du deriverer cosinus
Oppgave: Deriver f(x) = 4 cos x.
Feil
f′(x) = 4 sin x
Riktig
(cos x)′ = −sin x:
f′(x) = 4 · (−sin x)
= −4 sin x
Slik unngår du feilen: Cosinus synker der sinus er positiv, så den deriverte av cos x må være −sin x, mens den deriverte av sin x er cos x.
Lær mer: Leksjon 2.3 Derivasjon av trigonometriske funksjoner (med video) · Leksjon 9.2 Fart og akselerasjon langs kurver (med video) · Derivasjon av sinus, cosinus og tangens
Øv selv: Deriver g(x) = 2 sin(3x).
Vis svaret
g′(x) = 2 cos(3x) · 3
= 6 cos(3x)
Svar: g′(x) = 6 cos(3x)
Bruker kⁿ⁻¹ i stedet for kⁿ i sumformelen
Oppgave: Finn summen av de 5 første leddene i 2 + 6 + 18 + …
Feil
S₅ = 2(3⁴ − 1) delt på 3 − 1 = 80
Riktig
a₁ = 2 og k = 3. Sumformelen har kⁿ:
S₅ = 2(3⁵ − 1) delt på 3 − 1 = 242
Slik unngår du feilen: kⁿ⁻¹ hører til formelen for ledd nummer n, mens summen av n ledd har kⁿ, så sjekk gjerne med å legge sammen de første leddene.
Lær mer: Leksjon 3.3 Geometriske rekker (med video) · Leksjon 3.6 Rekker i praksis (med video) · Geometriske følger og rekker
Øv selv: Finn summen av de 8 første leddene i 1 + 2 + 4 + …
Vis svaret
S₈ = 1 · (2⁸ − 1) delt på 2 − 1 = 255
Svar: 255
Bruker sumformelen når |k| ≥ 1
Oppgave: Finn summen av den uendelige rekken 4 + 6 + 9 + …
Feil
6 delt på 4 = 1,5
4 delt på 1 − 1,5 = −8
Summen er −8.
Riktig
Sjekk kvotienten først:
6 delt på 4 = 1,5
|k| > 1, så rekken divergerer, og summen finnes ikke.
Slik unngår du feilen: Formelen a₁ delt på 1 − k gjelder bare når −1 < k < 1, og en sum av positive ledd kan aldri bli negativ.
Lær mer: Leksjon 3.4 Uendelige geometriske rekker (med video) · Leksjon 3.5 Konvergensområde (med video) · Uendelige geometriske rekker og konvergens
Øv selv: Finn summen av den uendelige rekken 12 + 6 + 3 + …
Vis svaret
6 delt på 12 = 0,5
12 delt på 1 − 0,5 = 24
Svar: 24
Tror ∫ sin x dx = cos x + C
Oppgave: Finn ∫ sin x dx.
Feil
∫ sin x dx = cos x + C
Riktig
Kontroll: (−cos x)′ = −(−sin x) = sin x.
∫ sin x dx = −cos x + C
Slik unngår du feilen: (cos x)′ = −sin x, så den antideriverte av sin x må ha minus foran, og du kan alltid sjekke svaret ved å derivere det.
Lær mer: Leksjon 5.2 Integrasjonsregler (med video) · Leksjon 6.5 Integraler med trigonometriske funksjoner (med video) · Integrasjonsregler og ubestemte integraler
Øv selv: Finn ∫ (3x² + cos x) dx.
Vis svaret
∫ (3x² + cos x) dx = x³ + sin x + C
Svar: x³ + sin x + C
Regner F(a) − F(b) i et bestemt integral
Oppgave: Regn ut ∫₁³ 2x dx.
Feil
∫₁³ 2x dx = [x²]₁³
1² − 3² = −8
Riktig
Øvre grense minus nedre grense:
∫₁³ 2x dx = [x²]₁³
3² − 1² = 8
Slik unngår du feilen: Fundamentalteoremet sier F(b) − F(a), altså den øvre grensen først, og grafen over x-aksen må gi et positivt integral.
Lær mer: Leksjon 5.4 Bestemt integral og analysens fundamentalteorem (med video) · Leksjon 5.5 Areal under og mellom grafer (med video) · Bestemt integral og areal under grafer
Øv selv: Regn ut ∫₁² 3x² dx.
Vis svaret
∫₁² 3x² dx = [x³]₁²
2³ − 1³ = 7
Svar: 7
Bytter ikke grensene ved substitusjon
Oppgave: Regn ut ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx med u = x² + 1.
Feil
Bruker de gamle grensene 0 og 1 for u:
∫₀¹ u³ du = [u⁴ delt på 4]₀¹ = 1 delt på 4
1 delt på 4
Riktig
Grensene må gjøres om til u-verdier:
u(0) = 0² + 1 = 1 og u(1) = 1² + 1 = 2
∫₁² u³ du = [u⁴ delt på 4]₁²
2⁴ delt på 4 − 1⁴ delt på 4 = 15 delt på 4
15 delt på 4
Slik unngår du feilen: Grensene 0 og 1 er x-verdier, så når du integrerer med hensyn på u, må du også bruke u-verdiene som grenser, eller bytte tilbake til x først.
Lær mer: Leksjon 6.2 Substitusjon i bestemte integraler (med video) · Leksjon 6.1 Integrasjon ved substitusjon (med video) · Integrasjon ved substitusjon
Øv selv: Regn ut ∫₀¹ 3x²(x³ + 1)² dx med u = x³ + 1.
Vis svaret
u(0) = 1 og u(1) = 2
∫₁² u² du = [u³ delt på 3]₁²
2³ delt på 3 − 1³ delt på 3 = 7 delt på 3
Svar: 7 delt på 3
Glemmer minus i den midterste koordinaten
Oppgave: Regn ut a × b for a = [1, 2, 3] og b = [4, 5, 6].
Feil
2 · 6 − 3 · 5 = −3
1 · 6 − 3 · 4 = −6
1 · 5 − 2 · 4 = −3
1 · (−3) + 2 · (−6) + 3 · (−3) = −24
a × b = [−3, −6, −3], men a · (a × b) blir ikke 0.
Riktig
Den midterste koordinaten har minus foran. Kontroller at a · (a × b) = 0:
2 · 6 − 3 · 5 = −3
−(1 · 6 − 3 · 4) = 6
1 · 5 − 2 · 4 = −3
1 · (−3) + 2 · 6 + 3 · (−3) = 0
a × b = [−3, 6, −3]
Slik unngår du feilen: Den midterste koordinaten har motsatt fortegn i formelen, og siden a × b står vinkelrett på a, kan du alltid sjekke svaret med skalarproduktet.
Lær mer: Leksjon 8.3 Vektorproduktet (med video) · Leksjon 8.4 Areal og volum med vektorprodukt (med video) · Vektorproduktet (kryssprodukt) i rommet
Øv selv: Regn ut a × b for a = [1, 0, 2] og b = [3, 1, 0], og kontroller svaret.
Vis svaret
0 · 0 − 2 · 1 = −2
−(1 · 0 − 2 · 3) = 6
1 · 1 − 0 · 3 = 1
1 · (−2) + 0 · 6 + 2 · 1 = 0
Svar: a × b = [−2, 6, 1], og kontrollen a · (a × b) gir 0.
Glemmer π og å kvadrere f(x) i volumformelen
Oppgave: Grafen til f(x) = √x for x ∈ [0, 4] dreies 360° om x-aksen. Finn volumet.
Feil
Integrerer f(x) uten π og uten å kvadrere:
V = ∫₀⁴ √x dx = 2 delt på 3 · 4 opphøyd i 3⁄2
= 16 delt på 3
V = 16 delt på 3
Riktig
Hvert snitt er en sirkel med radius f(x), så arealet er π · f(x)²:
V = π∫₀⁴ (√x)² dx = π∫₀⁴ x dx
= π[x² delt på 2]₀⁴ = π · 4² delt på 2
8π ≈ 25,13
V = 8π ≈ 25,13
Slik unngår du feilen: Volumformelen V = π∫ f(x)² dx kommer av at hvert snitt er en sirkel, så både π og kvadratet må være med.
Lær mer: Leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer (med video) · Leksjon 7.2 Volum mellom to grafer (med video)
Øv selv: Grafen til f(x) = x for x ∈ [0, 3] dreies 360° om x-aksen. Finn volumet.
Vis svaret
V = π∫₀³ x² dx = π[x³ delt på 3]₀³
π · 3³ delt på 3 = 9π
Svar: V = 9π
Les også
- Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Formelark for R2
- Begrepene i R2 forklart
- Alle modulene i R2
Utregningene på denne siden er kontrollert. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.