Skjæring og avstand – forklart steg for steg
Her lærer du å finne punktet der en linje treffer et plan, og å regne ut avstanden fra et punkt til et plan med avstandsformelen.
Dette er leksjon 8.7 Skjæring og avstand i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Linje møter plan
Punktet der linjen treffer planet, ligger både på linjen og i planet. Derfor setter du x, y og z fra linjen inn i planlikningen. Da får du en likning med bare t.
Avstand fra et punkt til et plan
Planet ax + by + cz + d = 0 har normalvektoren [a, b, c]. Sett punktet inn i venstre side, ta tallverdien og del på lengden av normalvektoren.
Reglene
- Sett x, y og z fra linjen inn i planlikningen.
- Løs for t, og sett t inn i linjen for å finne punktet.
- Avstanden er |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| delt på √(a² + b² + c²).
Eksempler
Eksempel 1: skjæringspunkt
Linjen er x = 1 + t, y = 2t, z = 3 − t, og planet er x + y + z = 6. Finn skjæringspunktet.
(1 + t) + 2t + (3 − t) = 6
4 + 2t = 6
t = 1
Svar: Skjæringspunktet er (2, 2, 2).
Med t = 1 er x = 1 + 1, y = 2 · 1 og z = 3 − 1.
Eksempel 2: avstand
Finn avstanden fra punktet (1, 1, 1) til planet 2x + y − 2z + 3 = 0.
2 · 1 + 1 − 2 · 1 + 3 = 4
√(2² + 1² + (−2)²) = √9 = 3
4 delt på 3 ≈ 1,33
Svar: Avstanden er 4 delt på 3.
Øv selv: 15 oppgaver i skjæring, avstand og kuleflater med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å svare 4 uten å dele på lengden av normalvektoren.
- Å glemme tallverdien. En avstand er aldri negativ.
- Å svare med t i stedet for punktet.
På eksamen
Skjæring og avstand kommer på del 1 og del 2. Skriv avstandsformelen, sett inn punktet og planet, og vis lengden av normalvektoren. Svar eksakt når det går.
Leksjonen hører til modulen Vektorer i rommet og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Begreper: skjæringspunkt avstand
Les også
- Vektorer i rommet – forklart steg for steg
- Skalarprodukt og vinkler i rommet – forklart steg for steg
- Vektorproduktet (kryssprodukt) i rommet
- Areal og volum med vektorprodukt – forklart steg for steg
- Linjer i rommet – forklart steg for steg
- Likningen for et plan – forklart steg for steg
- Kuleflater – forklart steg for steg
- Skjæring, avstand og kuleflater: oppgaver med fasit
- Vektorer i rommet: en enkel innføring · blogg
- Prøv en gratis oppgave i R2
Mer om matte R2
- Alle modulene i matte R2
- Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R2
- Begrepene i R2 forklart
- De 10 vanligste feilene i R2
- Temaer i R2 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.