Hopp til innholdet

Skjæring, avstand og kuleflater: oppgaver med fasit

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i skjæring, avstand og kuleflater i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 8.7 Skjæring og avstand, 8.8 Kuleflater i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Hvordan finner du avstanden fra et punkt til planet ax + by + cz + d = 0?

  1. A: sett punktet inn
  2. B: regn ut |n|
  3. C: sett punktet inn, ta tallverdien og del på |n|
  4. D: del d på |n|
Vis løsning på oppgave 1

Avstanden er |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| delt på |n|.

Fasit: C: sett punktet inn, ta tallverdien og del på |n|

Fra leksjon 8.7 Skjæring og avstand · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Skriv x² − 10x som et fullstendig kvadrat.

  1. A: (x + 5)² − 25
  2. B: (x − 10)² − 100
  3. C: (x − 5)² + 25
  4. D: (x − 5)² − 25
Vis løsning på oppgave 2

Halvparten av −10 er −5: (x − 5)² − 25.

Fasit: D: (x − 5)² − 25

Fra leksjon 8.8 Kuleflater · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Skriv x² + 10x som et fullstendig kvadrat.

  1. A: (x + 5)² + 25
  2. B: (x + 10)² − 100
  3. C: (x + 5)² − 25
  4. D: (x − 5)² − 25
Vis løsning på oppgave 3

Halvparten av 10 er 5: (x + 5)² − 25.

Fasit: C: (x + 5)² − 25

Fra leksjon 8.8 Kuleflater · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Finn avstanden fra (1, 1, 2) til planet x + 2y + 2z − 6 = 0.

  1. A: 1 delt på 9
  2. B: −1 delt på 3
  3. C: 1
  4. D: 1 delt på 3
Vis løsning på oppgave 4

|1| delt på √(1 + 4 + 4) = 3 gir 1 delt på 3.

Fasit: D: 1 delt på 3

Fra leksjon 8.7 Skjæring og avstand · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Ligger (0, 0, 0) på kuleflaten (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9?

  1. A: kan ikke avgjøres
  2. B: ja
  3. C: nei
Vis løsning på oppgave 5

Innsatt: 5.

Det er ikke 9, så punktet ligger ikke på kuleflaten.

Fasit: C: nei

Fra leksjon 8.8 Kuleflater · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Finn avstanden fra (2, −1, 0) til planet 2x + 2y + z + 4 = 0.

  1. A: 2
  2. B: −2
  3. C: 6
  4. D: 2 delt på 3
Vis løsning på oppgave 6

|6| delt på √(4 + 4 + 1) = 3 gir 2.

Fasit: A: 2

Fra leksjon 8.7 Skjæring og avstand · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Ligger (4, −2, 0) på kuleflaten (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9?

  1. A: nei
  2. B: ja
  3. C: kan ikke avgjøres
Vis løsning på oppgave 7

Innsatt: 9.

Det er 9, så punktet ligger på kuleflaten.

Fasit: B: ja

Fra leksjon 8.8 Kuleflater · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Finn sentrum til kuleflaten (x − 4)² + (y + 4)² + (z + 3)² = 16.

  1. A: (0, 0, 0)
  2. B: (4, −4, −3)
  3. C: (−4, 4, 3)
  4. D: (4, −4, −3, 4)
Vis løsning på oppgave 8

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r² har sentrum (a, b, c) = (4, −4, −3).

Fasit: B: (4, −4, −3)

Fra leksjon 8.8 Kuleflater · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn radien til kuleflaten (x − 1)² + y² + (z + 2)² = 25.

Vis løsning på oppgave 9

r = √25 = 5.

Fasit: 5

Fra leksjon 8.8 Kuleflater · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Finn sentrum til kuleflaten (x + 2)² + y² + (z + 1)² = 16.

  1. A: (2, 0, 1)
  2. B: (−2, 0, −1, 4)
  3. C: (0, 0, 0)
  4. D: (−2, 0, −1)
Vis løsning på oppgave 10

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r² har sentrum (a, b, c) = (−2, 0, −1).

Fasit: D: (−2, 0, −1)

Fra leksjon 8.8 Kuleflater · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Finn radien til kuleflaten (x − 1)² + y² + (z + 2)² = 9.

Vis løsning på oppgave 11

r = √9 = 3.

Fasit: 3

Fra leksjon 8.8 Kuleflater · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Linjen x = 1 + t, y = 2t, z = 3 − t skjærer planet x + y + z = 4. Finn t.

Vis løsning på oppgave 12

(1 + t) + 2t + (3 − t) = 4 gir 4 + 2t = 4, så t = 0.

Fasit: 0

Fra leksjon 8.7 Skjæring og avstand · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Linjen x = 1 + t, y = 2t, z = 3 − t skjærer planet x + y + z = 6. Finn skjæringspunktet.

  1. A: (1, 0, 3)
  2. B: (0, −2, 4)
  3. C: (2, 2, 2)
  4. D: (1, 1, 1)
Vis løsning på oppgave 13

4 + 2t = 6 gir t = 1.

Punktet er (2, 2, 2).

Fasit: C: (2, 2, 2)

Fra leksjon 8.7 Skjæring og avstand · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Linjen x = 1 + t, y = 2t, z = 3 − t skjærer planet x + y + z = 6. Finn t.

Vis løsning på oppgave 14

(1 + t) + 2t + (3 − t) = 6 gir 4 + 2t = 6, så t = 1.

Fasit: 1

Fra leksjon 8.7 Skjæring og avstand · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Linjen x = 1 + t, y = 2t, z = 3 − t skjærer planet x + y + z = 10. Finn skjæringspunktet.

  1. A: (3, 3, 3)
  2. B: (4, 6, 0)
  3. C: (1, 0, 3)
  4. D: (−2, −6, 6)
Vis løsning på oppgave 15

4 + 2t = 10 gir t = 3.

Punktet er (4, 6, 0).

Fasit: B: (4, 6, 0)

Fra leksjon 8.7 Skjæring og avstand · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: C: sett punktet inn, ta tallverdien og del på |n|
  2. Oppgave 2: D: (x − 5)² − 25
  3. Oppgave 3: C: (x + 5)² − 25
  4. Oppgave 4: D: 1 delt på 3
  5. Oppgave 5: C: nei
  6. Oppgave 6: A: 2
  7. Oppgave 7: B: ja
  8. Oppgave 8: B: (4, −4, −3)
  9. Oppgave 9: 5
  10. Oppgave 10: D: (−2, 0, −1)
  11. Oppgave 11: 3
  12. Oppgave 12: 0
  13. Oppgave 13: C: (2, 2, 2)
  14. Oppgave 14: 1
  15. Oppgave 15: B: (4, 6, 0)

Oppgavene hører til leksjonene 8.7–8.8 i modulen Vektorer i rommet, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.