Skalarprodukt og vinkler i rommet – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 8 · leksjon 8.2 · eksamen: del 1 og del 2

Skalarproduktet i rommet regnes som i planet, med et ledd til. Her lærer du å bruke det til å avgjøre om to vektorer står vinkelrett, og til å finne vinkelen mellom dem.

Dette er leksjon 8.2 Skalarprodukt og vinkler i rommet i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Tre ledd

Skalarproduktet av [a, b, c] og [d, e, f] er ad + be + cf. Det er et tall. Er det 0, står vektorene vinkelrett på hverandre.

Reglene

1. Gang første med første, andre med andre og tredje med tredje, og legg sammen.
2. Er skalarproduktet 0, står vektorene vinkelrett.
3. cos v er skalarproduktet delt på produktet av lengdene.

Når er vinkelen stump?

Fortegnet til skalarproduktet sier noe om vinkelen. Er skalarproduktet positivt, er vinkelen mindre enn 90°. Er det negativt, er vinkelen større enn 90°. Er det 0, er vinkelen nøyaktig 90°.

Eksempler

Eksempel 1: står vektorene vinkelrett?

Står [1, 2, 2] og [2, 0, −1] vinkelrett på hverandre?

1 · 2 + 2 · 0 + 2 · (−1) = 2 + 0 − 2 = 0

Svar: Ja. Skalarproduktet er 0, så vektorene står vinkelrett.

Eksempel 2: vinkelen mellom vektorer

Finn vinkelen mellom [1, 2, 2] og [2, 1, 2].

1 · 2 + 2 · 1 + 2 · 2 = 8
√(1² + 2² + 2²) = 3
√(2² + 1² + 2²) = 3
cos opphøyd i ⁻¹(8 delt på 9) ≈ 27,3

Svar: Vinkelen er omtrent 27,3°.

cos v = 8 delt på 3 · 3 = 8 delt på 9. Kalkulatoren må stå i grader når du vil ha svaret i grader.

Øv selv: 15 oppgaver i vektorer i rommet med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å glemme z-leddet. Da kan du tro at vektorer ikke står vinkelrett, selv om de gjør det.
• Å glemme å dele på lengdene når du finner vinkelen.
• Å gange på kryss i stedet for koordinat med koordinat.

På eksamen

Skalarprodukt kommer på del 1 og del 2. Skriv alle tre leddene, og vis lengdene. På del 2 regner du cos opphøyd i ⁻¹ på kalkulatoren. Sjekk om den står i grader eller radianer.

Leksjonen hører til modulen Vektorer i rommet og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: skalarprodukt vinkel ortogonal

Les også

• Vektorer i rommet – forklart steg for steg
• Vektorproduktet (kryssprodukt) i rommet
• Areal og volum med vektorprodukt – forklart steg for steg
• Linjer i rommet – forklart steg for steg
• Likningen for et plan – forklart steg for steg
• Skjæring og avstand – forklart steg for steg
• Kuleflater – forklart steg for steg
• Vektorer i rommet: oppgaver med fasit
• Vektorer i rommet: en enkel innføring · blogg
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.