Formelark for matte R2

Formlene og reglene du bruker mest i R2, samlet på ett ark. Vinklene er i radianer når ikke noe annet står.

Formelarket er laget av Sophus ut fra kursplanen. Bruk det når du øver. Om du kan ha det med på del 2, avgjøres av reglene for egne notater og trykte hjelpemidler, så sjekk hjelpemidlene fra 2027. Mange lærer mer av å skrive sitt eget ark, med dette som utgangspunkt.

Trigonometri og radianer

Radianer	π = 180°, og v i radianer = v i grader · π180
Eksakte verdier	sin π6 = 12, sin π4 = √22, sin π3 = √32 cos π6 = √32, cos π4 = √22, cos π3 = 12
Enhetsformelen	sin² x + cos² x = 1
Tangens	tan x = sin xcos x
sin x = a	x = x₀ + k · 2π eller x = π − x₀ + k · 2π k er et helt tall
cos x = a	x = ±x₀ + k · 2π
tan x = a	x = x₀ + k · π
Sumformler	sin(u ± v) = sin u · cos v ± cos u · sin v og cos(u ± v) = cos u · cos v ∓ sin u · sin v
Dobbel vinkel	sin 2x = 2 sin x · cos x og cos 2x = cos² x − sin² x = 2cos² x − 1 = 1 − 2sin² x
a sin x + b cos x	= A · sin(x + φ), der A = √(a² + b²) cos φ = aA og sin φ = bA

Trigonometriske funksjoner

Sinusfunksjon	f(x) = A · sin(c · x + φ) + d amplitude \|A\|, periode 2πc, likevektslinje y = d (c > 0)
Derivasjon	(sin x)′ = cos x og (cos x)′ = −sin x
Tangens	(tan x)′ = 1cos² x = 1 + tan² x
Med kjerne	(sin(cx))′ = c · cos(cx) og (cos(cx))′ = −c · sin(cx)

Følger og rekker

Aritmetisk følge	a_n = a₁ + (n − 1) · d d er differansen mellom to ledd som følger etter hverandre
Aritmetisk rekke	S_n = n · (a₁ + a_n)2
Geometrisk følge	a_n = a₁ · k^{n − 1} k er kvotienten mellom to ledd som følger etter hverandre
Geometrisk rekke	S_n = a₁ · kⁿ − 1k − 1 k ≠ 1
Uendelig geometrisk rekke	S = a₁1 − k konvergerer bare når −1 < k < 1

Bevis

Induksjonsbevis	1) vis at påstanden stemmer for n = 1. 2) anta at den stemmer for n = k, og vis at den da stemmer for n = k + 1
Bevis ved motsigelse	anta det motsatte, og vis at det fører til noe som ikke kan stemme

Integrasjon

Potens	∫ xⁿ dx = 1n + 1 · x^{n + 1} + C n ≠ −1
En delt på x	∫ 1x dx = ln \|x\| + C
Eksponentialfunksjon	∫ e^x dx = e^x + C og ∫ e^kx dx = 1k · e^kx + C k ≠ 0
Andre grunntall	∫ a^x dx = a^xln a + C
Bestemt integral	∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) F er en antiderivert til f (analysens fundamentalteorem)
Areal mellom grafer	∫_a^b (f(x) − g(x)) dx når f(x) ≥ g(x) mellom a og b
Trigonometriske funksjoner	∫ sin x dx = −cos x + C og ∫ cos x dx = sin x + C
Trapesmetoden	∫_a^b f(x) dx ≈ h2 · (f(x₀) + 2f(x₁) + … + 2f(x_n−1) + f(x_n)) h = b − an

Integrasjonsmetoder

Substitusjon	∫ g(u(x)) · u′(x) dx = ∫ g(u) du husk å bytte grensene i et bestemt integral
Delvis integrasjon	∫ u′ · v dx = u · v − ∫ u · v′ dx
Delbrøkoppspalting	px + q(x − a)(x − b) = Ax − a + Bx − b når a ≠ b

Anvendelser av integrasjon

Omdreiningslegeme om x-aksen	V = π · ∫_a^b (f(x))² dx
Mengde fra vekstfart	endringen fra a til b = ∫_a^b f′(t) dt
Strekning fra fart	s = ∫_a^b v(t) dt når farten ikke skifter fortegn

Vektorer i rommet

Lengde	\|[x, y, z]\| = √(x² + y² + z²)
Skalarprodukt	u · v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = \|u\| · \|v\| · cos α u · v = 0 betyr at vektorene står vinkelrett på hverandre
Vektorprodukt	u × v = [y₁z₂ − z₁y₂, z₁x₂ − x₁z₂, x₁y₂ − y₁x₂] står vinkelrett på både u og v
Areal	parallellogram: \|u × v\|, trekant: 12 · \|u × v\|
Volum	parallellepiped: \|(u × v) · w\|, pyramide med trekantet grunnflate: 16 · \|(u × v) · w\|
Linje i rommet	x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct retningsvektor [a, b, c]
Plan	a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0 normalvektor [a, b, c]
Avstand fra punkt til plan	\|a · x₁ + b · y₁ + c · z₁ + d\|√(a² + b² + c²) planet er ax + by + cz + d = 0
Kuleflate	(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r² sentrum (x₀, y₀, z₀), radius r

Kurver og bevegelse

Posisjon	r(t) = [x(t), y(t)] eller [x(t), y(t), z(t)]
Fart og banefart	v(t) = r′(t) og banefarten er \|v(t)\|
Akselerasjon	a(t) = v′(t) = r″(t)

Sophus · sophus.no · Matematikk R2 · formelark per 21. oktober 2026. Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no.