Hopp til innholdet

Vektorer i rommet: en enkel innføring

I R1 regnet du med vektorer i planet, med to koordinater. I R2 får vektorene en tredje koordinat, og du kan regne med linjer, plan og kuler i rommet. Det meste du kan fra før, virker på samme måte. Her er det viktigste, med eksempler.

I denne artikkelen:
  1. Hva er en vektor i rommet?
  2. Lengden av en vektor
  3. Regning med vektorer
  4. Skalarproduktet: står vektorene vinkelrett?
  5. Vektorproduktet: en vektor som står vinkelrett på begge
  6. Likningen for et plan
  7. Linjer i rommet
  8. Vanlige feil

Hva er en vektor i rommet?

En vektor er en pil med lengde og retning. Den sier hvor langt du skal gå, og i hvilken retning. I rommet trenger du tre tall: hvor langt i x-retning, i y-retning og i z-retning. Tenk på et rom der x og y er langs gulvet og z er rett opp.

Vektoren fra punktet A(1, 2, 0) til punktet B(3, 5, 6) finner du ved å trekke koordinatene til A fra koordinatene til B:

AB = [3 − 1, 5 − 2, 6 − 0] = [2, 3, 6]

Lengden av en vektor

Lengden finner du med Pytagoras, nå med tre ledd under rottegnet:

|[2, 3, 6]| = √(22 + 32 + 62) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7

Avstanden mellom A og B er altså 7.

Regning med vektorer

Du legger sammen og ganger med tall koordinat for koordinat, akkurat som i planet:

[1, 2, 3] + [2, 0, −1] = [3, 2, 2]   ·   2 · [1, 2, 3] = [2, 4, 6]

Skalarproduktet: står vektorene vinkelrett?

Skalarproduktet ganger koordinatene parvis og legger sammen. Svaret er et tall:

[2, 3, 6] · [3, −2, 0] = 2 · 3 + 3 · (−2) + 6 · 0 = 0

Er skalarproduktet 0, står vektorene vinkelrett på hverandre. Ellers kan du finne vinkelen v mellom dem med cos v = u · w delt på |u| · |w|. For u = [1, 0, 0] og w = [1, 1, 0] er u · w = 1, |u| = 1 og |w| = √2:

cos v = 1 delt på √2  gir  v = 45°

Skalarproduktet er forklart med flere eksempler i skalarprodukt av vektorer.

Vektorproduktet: en vektor som står vinkelrett på begge

Vektorproduktet u × w er nytt i R2. Svaret er en vektor som står vinkelrett på både u og w. For u = [1, 2, 0] og w = [0, 1, 3]:

u × w = [2 · 3 − 0 · 1, 0 · 0 − 1 · 3, 1 · 1 − 2 · 0] = [6, −3, 1]

Sjekk med skalarproduktet: [6, −3, 1] · [1, 2, 0] = 6 − 6 + 0 = 0, og [6, −3, 1] · [0, 1, 3] = 0 − 3 + 3 = 0. Begge er 0, så svaret står vinkelrett på begge vektorene.

Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet som u og w utspenner:

|[6, −3, 1]| = √(36 + 9 + 1) = √46 ≈ 6,78

Trekanten som u og w utspenner, har halvparten så stort areal, omtrent 3,39. Se vektorproduktet for regnereglene.

Likningen for et plan

Et plan er bestemt av ett punkt i planet og en normalvektor, en vektor som står vinkelrett på planet. Planet gjennom A(1, 2, 0) med normalvektor [6, −3, 1] har likningen

6(x − 1) − 3(y − 2) + 1 · (z − 0) = 0   som gir   6x − 3y + z = 0

Sjekk at A ligger i planet: 6 · 1 − 3 · 2 + 0 = 0. Det stemmer. Normalvektoren her er vektorproduktet fra avsnittet over, så planet inneholder både A og retningene [1, 2, 0] og [0, 1, 3]. Slik finner du et plan gjennom tre punkter: lag to vektorer mellom punktene og ta vektorproduktet.

Linjer i rommet

En linje i rommet skrives med parameterframstilling, som i R1, bare med en z-koordinat i tillegg. Linjen gjennom A(1, 2, 0) med retningsvektor [2, 3, 6] er

x = 1 + 2t    y = 2 + 3t    z = 6t

Setter du t = 1, får du B(3, 5, 6). Se parameterframstilling for en linje.

Vanlige feil

  • Bytte rekkefølgen i vektorproduktet. w × u gir motsatt vektor av u × w.
  • Fortegnsfeil i den midterste koordinaten av vektorproduktet. Sjekk alltid svaret med skalarproduktet.
  • Trekke fra i feil rekkefølge. Vektoren AB er B minus A.
  • Glemme å halvere når du skal ha arealet av en trekant.

Les også om eksamen i R2.

Temaer forklart med eksempler

Mer om faget

Ser du en feil? Si fra, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.