Areal og volum med vektorprodukt – forklart steg for steg
Lengden av vektorproduktet er et areal, og med en tredje vektor får du et volum. Her lærer du å finne arealet av trekanter og volumet av pyramider med vektorer.
Dette er leksjon 8.4 Areal og volum med vektorprodukt i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Lengden er et areal
To vektorer a og b utspenner et parallellogram. Lengden av a × b er arealet av parallellogrammet. En trekant er halvparten. Med en tredje vektor c får du volumet av et parallellepiped: (a × b) · c.
Reglene
- Arealet av parallellogrammet er |a × b|.
- Arealet av trekanten er 1 delt på 2 · |a × b|.
- Volumet av en trekantet pyramide er 1 delt på 6 · |(a × b) · c|.
Eksempler
Eksempel 1: arealet av en trekant
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0) og C(0, 3, 0). Finn arealet av trekanten ABC.
0 · 0 − 0 · 3 = 0
0 · 0 − 2 · 0 = 0
2 · 3 − 0 · 0 = 6
1 delt på 2 · 6 = 3
Svar: AB × AC = [0, 0, 6], og arealet av trekanten er 3.
AB = [2, 0, 0] og AC = [0, 3, 0]. De tre første linjene er koordinatene i vektorproduktet.
Eksempel 2: volumet av en pyramide
Pyramiden har hjørner i origo, A(2, 0, 0), B(0, 3, 0) og C(0, 0, 4). Finn volumet.
0 · 0 + 0 · 0 + 6 · 4 = 24
1 delt på 6 · 24 = 4
Svar: Volumet er 4.
a × b = [0, 0, 6] som i eksempelet over, og c = [0, 0, 4].
Øv selv: 15 oppgaver i vektorproduktet med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å svare 6 for arealet av trekanten. 6 er arealet av parallellogrammet.
- Å dele på 2 i stedet for 6 for en trekantet pyramide. Da får du 12 i stedet for 4.
- Å glemme tallverdien. Et volum kan ikke være negativt.
På eksamen
Areal og volum med vektorprodukt kommer på del 1 og del 2. Vis hvordan du regner ut vektorproduktet koordinat for koordinat, og skriv hvilken formel du bruker for areal eller volum.
Leksjonen hører til modulen Vektorer i rommet og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Begreper: areal volum pyramide
Les også
- Vektorer i rommet – forklart steg for steg
- Skalarprodukt og vinkler i rommet – forklart steg for steg
- Vektorproduktet (kryssprodukt) i rommet
- Linjer i rommet – forklart steg for steg
- Likningen for et plan – forklart steg for steg
- Skjæring og avstand – forklart steg for steg
- Kuleflater – forklart steg for steg
- Vektorproduktet: oppgaver med fasit
- Vektorer i rommet: en enkel innføring · blogg
- Prøv en gratis oppgave i R2
Mer om matte R2
- Alle modulene i matte R2
- Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R2
- Begrepene i R2 forklart
- De 10 vanligste feilene i R2
- Temaer i R2 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.