Uendelige geometriske rekker og konvergens

Q: Når konvergerer en uendelig geometrisk rekke?

Når kvotienten k ligger mellom −1 og 1.

Q: Hva er summen av en uendelig geometrisk rekke?

S = a1/(1 − k), når −1 < k < 1.

Q: Hva er konvergensområdet?

Mengden av x-verdier der rekken konvergerer, altså der −1 < k(x) < 1.

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

En uendelig rekke kan ha en endelig sum. 8 + 4 + 2 + 1 + … blir aldri større enn 16. En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom −1 og 1.

Lær dette i Sophus: 3.4 Uendelige geometriske rekker i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

Summen

Når −1 < k < 1, går kⁿ mot 0, og sumformelen blir

S = a₁1 − k

Er |k| ≥ 1, divergerer rekken: den har ingen sum.

Konvergensområde

Inneholder k en variabel x, finner du hvilke x som gir −1 < k < 1. Det kalles konvergensområdet, og summen er en funksjon av x der.

Hvorfor summen kan være endelig

Tenk deg at du går halvveis mot en vegg, så halvveis igjen, og så videre. Du tar uendelig mange skritt, men kommer aldri lenger enn til veggen. Summen av skrittene er endelig. På samme måte går kⁿ mot 0 når −1 < k < 1, så leddet a₁kⁿ i sumformelen forsvinner. Er |k| ≥ 1, blir leddene ikke mindre, og summen vokser uten grense eller hopper fram og tilbake. Da sier vi at rekken divergerer.

Eksempler

Eksempel 1: en enkel rekke

8 + 4 + 2 + … = 81 − 0,5 = 16

Eksempel 2: 0,999 … = 1

0,999 … = 0,9 + 0,09 + 0,009 + … er en geometrisk rekke med a₁ = 0,9 og k = 0,1.

S = 0,91 − 0,1 = 0,90,9 = 1

Eksempel 3: konvergensområde

Rekken 1 + 2x + 4x² + … har k = 2x.

−1 < 2x < 1 gir −12 < x < 12 · S(x) = 11 − 2x

For x = 0,2 er summen 10,6 ≈ 1,667.

Vanlige feil

Å bruke formelen når |k| ≥ 1.
Å glemme at k kan være negativ. −1 < k < 1 er betingelsen.
Å bruke a₂ som første ledd. Sjekk hva som er a₁.

På eksamen

Uendelige geometriske rekker kommer på del 1 i R2 og S2, typisk «finn konvergensområdet og summen». Oppgaven kan også be deg forklare hvorfor rekken konvergerer. Skriv betingelsen −1 < k < 1 før du løser ulikheten.

I kurset hører temaet til leksjon 3.4 i modulen Følger og rekker, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Når konvergerer en uendelig geometrisk rekke?

Når kvotienten k ligger mellom −1 og 1.

Hva er summen av en uendelig geometrisk rekke?

S = a1/(1 − k), når −1 < k < 1.

Hva er konvergensområdet?

Mengden av x-verdier der rekken konvergerer, altså der −1 < k(x) < 1.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.