Bestemt integral og areal under grafer

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

Et bestemt integral gir et tall. Når grafen ligger over x-aksen, er det arealet mellom grafen og aksen. Med analysens fundamentalteorem regner du det ut med den antideriverte.

Lær dette i Sophus: 5.5 Areal under og mellom grafer i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

Fundamentalteoremet

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)

F er en antiderivert av f. Konstanten C forsvinner, så du trenger den ikke.

Areal

Der grafen ligger under x-aksen, er integralet negativt. Arealet er alltid positivt, så du deler opp i nullpunktene og tar tallverdien av hver del. Arealet mellom to grafer er ∫ (øverste − nederste) dx mellom skjæringspunktene.

Eksempler

Eksempel 1: et bestemt integral

∫₁³ (2x + 1) dx = [x² + x]₁³ = 12 − 2 = 10

Eksempel 2: areal mellom to grafer

Finn arealet mellom f(x) = x² og g(x) = x + 2. Skjæring: x² = x + 2 gir x = −1 og x = 2. Mellom dem ligger g øverst.

∫₋₁² (x + 2 − x²) dx = [x²2 + 2x − x³3]₋₁² = 103 − (−76) = 4,5

Eksempel 3: graf under x-aksen

Finn arealet mellom f(x) = x² − 4 og x-aksen fra x = 0 til x = 3. f er null i x = 2.

∫₀² f(x) dx = −163 · ∫₂³ f(x) dx = 73

areal = 163 + 73 = 233 ≈ 7,67

Integralet fra 0 til 3 er −3, som ikke er arealet.

Eksempel 4: sinus

∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = 1 − (−1) = 2

Vanlige feil

Å regne F(a) − F(b) i stedet for F(b) − F(a).
Å bruke integralet som areal når grafen er under x-aksen.
Å glemme parentes rundt F(a) når den er negativ.
Å trekke den øverste grafen fra den nederste.

På eksamen

Bestemte integraler og areal kommer på del 1 og del 2 i R2 og S2. Fra våren 2027 er del 2 uten datamaskin, så du finner skjæringspunktene ved regning og regner integralet for hånd. Lag en skisse av grafene, så ser du hvilken som ligger øverst og om noe er under x-aksen.

I kurset hører temaet til leksjon 5.5 i modulen Integrasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er analysens fundamentalteorem?

At det bestemte integralet fra a til b av f er F(b) − F(a), der F er en antiderivert av f.

Er integralet alltid arealet?

Nei. Der grafen er under x-aksen, er integralet negativt. Arealet er alltid positivt.

Hvordan finner jeg arealet mellom to grafer?

Finn skjæringspunktene og integrer øverste minus nederste graf mellom dem.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.