Derivasjon av sinus, cosinus og tangens
Sinus og cosinus deriveres til hverandre, med et minustegn ett sted. Med kjerneregelen og produktregelen kan du derivere alle trigonometriske funksjoner i R2.
Lær dette i Sophus: 2.3 Derivasjon av trigonometriske funksjoner i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen
Reglene
| sin x | (sin x)′ = cos x |
|---|---|
| cos x | (cos x)′ = −sin x |
| tan x | (tan x)′ = 1cos2 x = 1 + tan2 x |
| med kjerne | (sin(kx))′ = k cos(kx) og (cos(kx))′ = −k sin(kx) |
Reglene gjelder bare når x er i radianer.
Huskeregel
Deriverer du sin x fire ganger, får du cos x, −sin x, −cos x og sin x igjen. Minuset kommer når du deriverer cosinus.
Hvorfor (sin x)′ = cos x
Tegn grafen til sin x og se på stigningen. Der sinus har toppunkt (x = π2), er stigningen 0, og cos π2 = 0. Der sinus stiger brattest (x = 0), er stigningen 1, og cos 0 = 1. Det samme mønsteret gjelder overalt, og beviset bruker grenseverdien av sin hh når h går mot 0, som er 1 bare når h måles i radianer. Derfor må du alltid regne i radianer når du deriverer trigonometriske funksjoner.
Eksempler
Eksempel 1: sum
(3 sin x − 2 cos x)′ = 3 cos x + 2 sin x
Eksempel 2: kjerneregelen
(4 cos(3x))′ = 4 · (−sin(3x)) · 3 = −12 sin(3x)
Eksempel 3: produktregelen
(x sin x)′ = 1 · sin x + x · cos x = sin x + x cos x
Eksempel 4: toppunkt
Finn toppunktet til f(x) = sin x + cos x for x ∈ [0, π].
f′(x) = cos x − sin x = 0 gir tan x = 1 · x = π4
f(π4) = √22 + √22 = √2 ≈ 1,414
f′ skifter fra + til − i π4, så toppunktet er (π4, √2).
Vanlige feil
- Å glemme minus: (cos x)′ = −sin x.
- Å glemme den indre deriverte i sin(3x).
- Å derivere med kalkulatoren eller tabeller i grader. Reglene krever radianer.
På eksamen
Derivasjon av trigonometriske funksjoner er med på del 1 i R2, ofte i en drøftingsoppgave der du løser f′(x) = 0 som en trigonometrisk likning. På del 2 bruker du den deriverte i modeller, for eksempel når vannstanden stiger raskest. Fra våren 2027 deriverer du for hånd også på del 2.
I kurset hører temaet til leksjon 2.3 i modulen Trigonometriske funksjoner, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Spørsmål og svar
Hva er den deriverte av sin x?
cos x.
Hva er den deriverte av cos x?
−sin x.
Hva er den deriverte av sin(kx)?
k cos(kx), med kjerneregelen.
Les også
- Sinusfunksjoner: amplitude, periode og likevektslinje
- Trigonometriske likninger: sin x, cos x og tan x
- Kjerneregelen: derivasjon av sammensatte funksjoner · Matematikk R1
- Produktregelen: deriver et produkt · Matematikk R1
- Formelark for R2
- Eksamen i R2
- Alle temaene
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.