Trigonometriske likninger: sin x, cos x og tan x

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

En trigonometrisk likning har uendelig mange løsninger, fordi sinus og cosinus gjentar seg. Du finner én løsning, finner den andre med symmetri, og legger til perioden.

Lær dette i Sophus: 1.3 Likninger med sinus i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

Sinus: v og π − v

sin x = sin v gir

x = v + k · 2π eller x = π − v + k · 2π

Begge punktene på enhetssirkelen med samme y-koordinat.

Cosinus: ±v

cos x = cos v gir

x = ±v + k · 2π

Begge punktene med samme x-koordinat.

Tangens: periode π

tan x = tan v gir x = v + k · π. Tangens gjentar seg hver π.

Intervallet

Les intervallet i oppgaven, for eksempel x ∈ [0, 2π⟩, og velg k slik at du får med alle løsningene der. Har du sin 2x, må du finne alle verdiene av 2x først, og dele på 2 til slutt.

Eksempler

Eksempel 1: sinus

Løs sin x = 12 for x ∈ [0, 2π⟩.

x = π6 eller x = π − π6 = 5π6

Eksempel 2: cosinus

Løs 2 cos x + √3 = 0 for x ∈ [0, 2π⟩.

cos x = −√32 · x = 5π6 eller x = 2π − 5π6 = 7π6

Eksempel 3: dobbel vinkel

Løs sin 2x = √22 for x ∈ [0, 2π⟩. Da er 2x ∈ [0, 4π⟩:

2x = π4, 3π4, 9π4, 11π4

x = π8, 3π8, 9π8, 11π8

Eksempel 4: tangens

Løs tan x = 1. Én løsning er π4, og perioden er π:

x = π4 + k · π

Vanlige feil

Å bare oppgi én løsning. sin x = 12 har to løsninger per periode.
Å dele på 2 for tidlig når likningen har sin 2x. Finn alle verdier av 2x først.
Å bruke periode 2π for tangens. Den er π.
Å løse med kalkulatoren i grader når svaret skal være i radianer.

På eksamen

Trigonometriske likninger kommer på del 1 i R2 hvert år, med eksakte verdier. De kan også komme som andregradslikninger i sin x (sett u = sin x), eller som en del av drøfting der du skal finne nullpunkter til den deriverte. Fra våren 2027 er også del 2 uten datamaskin, så likninger med verdier som ikke er eksakte løser du med sin⁻¹ på kalkulatoren og symmetri.

I kurset hører temaet til leksjon 1.3 i modulen Trigonometri og radianer, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Hvor mange løsninger har sin x = 1/2?

Uendelig mange: x = π/6 + k · 2π og x = 5π/6 + k · 2π. I intervallet [0, 2π⟩ er det to.

Hvordan finner jeg den andre løsningen for cosinus?

cos x = cos v gir x = ±v + k · 2π, altså speilet om x-aksen.

Hva gjør jeg med sin 2x?

Finn alle verdiene av 2x i det doble intervallet, og del på 2 til slutt.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.