Integrasjonsregler og ubestemte integraler

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1

Å integrere er det motsatte av å derivere. Det ubestemte integralet ∫ f(x) dx er alle funksjoner F med F′ = f. Reglene får du ved å lese derivasjonsreglene baklengs.

Lær dette i Sophus: 5.2 Integrasjonsregler i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

Reglene

Potens	∫ xⁿ dx = x^{n + 1}n + 1 + C, n ≠ −1
1x	∫ 1x dx = ln \|x\| + C
e^kx	∫ e^kx dx = 1k e^kx + C
Sinus og cosinus	∫ sin x dx = −cos x + C og ∫ cos x dx = sin x + C

+ C og kontroll

Alle konstanter forsvinner når du deriverer, så du må ta med + C. Sjekk alltid svaret ved å derivere det. Får du integranden, er svaret riktig.

Konstanter og summer

Som ved derivasjon kan du integrere ledd for ledd, og et tall foran kan stå utenfor: ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx og ∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx. Men det finnes ingen enkel produktregel eller brøkregel for integraler. Har du et produkt eller en brøk, må du gange ut, dele opp brøken, eller bruke substitusjon og delvis integrasjon, som er egne metoder.

Eksempler

Eksempel 1: polynom

∫ (6x² − 4x + 3) dx = 2x³ − 2x² + 3x + C

Eksempel 2: e og 1/x

∫ (e^2x + 1x) dx = 12 e^2x + ln |x| + C

Eksempel 3: sinus og cosinus

∫ (sin x + 2 cos x) dx = −cos x + 2 sin x + C

Eksempel 4: finn konstanten

Finn F når F′(x) = 3x² og F(1) = 5.

F(x) = x³ + C · 1 + C = 5 · C = 4

Vanlige feil

Å glemme + C.
Å integrere 1x med potensregelen. Den gir divisjon med 0. Riktig er ln |x|.
Å få feil fortegn på ∫ sin x dx. Den er −cos x.
Å glemme å dele på k: ∫ e^2x dx = 12 e^2x + C.

På eksamen

Integrasjonsreglene trengs i alle integraloppgaver på del 1 i R2 og S2. Fra våren 2027 er del 2 også uten datamaskin, så integraler i modeller og arealer regnes for hånd, og kalkulatoren brukes bare til tallene. Kontroller svarene ved å derivere.

I kurset hører temaet til leksjon 5.2 i modulen Integrasjon, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er et ubestemt integral?

Alle funksjoner F(x) + C som har f(x) som derivert. Skrives ∫ f(x) dx.

Hvorfor + C?

Fordi en konstant forsvinner når du deriverer. Alle F(x) + C har samme derivert.

Hva er integralet av 1/x?

ln |x| + C.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.