Integrasjon ved substitusjon

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1

Substitusjon er kjerneregelen baklengs. Når integranden inneholder en kjerne og den deriverte av kjernen, bytter du kjernen ut med u, og integralet blir enkelt.

Lær dette i Sophus: 6.1 Integrasjon ved substitusjon i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

Oppskrift

Velg u lik kjernen, ofte det som står i en parentes, eksponent eller nevner.
Regn ut dudx = u′ og skriv dx = duu′.
Sett inn. Alle x skal forsvinne.
Integrer med hensyn på u, og sett tilbake u = kjernen.

Bestemte integraler

Bytt grensene til u-verdier når du substituerer. Da slipper du å sette tilbake, og du regner direkte med de nye grensene.

Eksempler

Eksempel 1: parentes i en potens

∫ 2x(x² + 1)³ dx. Sett u = x² + 1, så du = 2x dx.

∫ u³ du = u⁴4 + C = (x² + 1)⁴4 + C

Eksempel 2: e med en kjerne

∫ x e^x² dx. Sett u = x², så du = 2x dx og x dx = du2.

∫ 12 e^u du = 12 e^x² + C

Eksempel 3: bestemt integral med nye grenser

∫₀¹ 2xx² + 1 dx. Sett u = x² + 1. Grensene blir u = 1 og u = 2.

∫₁² 1u du = [ln u]₁² = ln 2 ≈ 0,693

Eksempel 4: trigonometrisk

∫ cos x · sin² x dx. Sett u = sin x, så du = cos x dx.

∫ u² du = sin³ x3 + C

Vanlige feil

Å glemme å bytte ut dx, så både x og u står i integralet.
Å beholde x-grensene etter at du har substituert.
Å velge u slik at u′ ikke finnes i integranden. Prøv en annen kjerne.

På eksamen

Substitusjon kommer på del 1 i R2 nesten hvert år, både som ubestemte og bestemte integraler. Fra våren 2027 skal integraler regnes for hånd også på del 2. Skriv u, du og de nye grensene på egne linjer, så sensor ser metoden.

I kurset hører temaet til leksjon 6.1 i modulen Integrasjonsmetoder, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Når bruker jeg substitusjon?

Når integranden inneholder en kjerne og den deriverte av kjernen, som 2x(x² + 1)³.

Hva gjør jeg med grensene?

Regn ut u for den nedre og den øvre grensen, og bruk dem som nye grenser.

Hva er forskjellen på substitusjon og delvis integrasjon?

Substitusjon er kjerneregelen baklengs. Delvis integrasjon er produktregelen baklengs.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.