Temaer › Matematikk R2

Geometriske følger og rekker

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

I en geometrisk følge ganges hvert ledd med samme tall k, som i 2, 6, 18, 54. Geometriske rekker brukes til sparing, lån og alt som vokser med samme prosent.

Lær dette i Sophus: 3.3 Geometriske rekker i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

Formlene

a_n = a₁ · k^{n − 1}  ·  S_n = a₁ · kⁿ − 1k − 1, k ≠ 1

k er kvotienten mellom to ledd som følger etter hverandre.

Hvorfor sumformelen stemmer

Gang summen med k og trekk fra den opprinnelige summen. Alle ledd unntatt to forsvinner: kS_n − S_n = a₁kⁿ − a₁. Del på k − 1.

Kjennetegn ved geometriske rekker

En geometrisk rekke vokser (eller avtar) med samme prosent, og derfor dukker den opp overalt der det er renter, vekst eller verdifall. Er k større enn 1, vokser leddene. Er k mellom 0 og 1, blir de mindre. Er k negativ, skifter leddene fortegn. Det er lurt å finne k som forholdet mellom to ledd før du bruker formelen, og å sjekke svaret ved å legge sammen de tre første leddene for hånd.

Eksempler

Eksempel 1: sum av åtte ledd

Rekken er 2 + 6 + 18 + … Her er a₁ = 2 og k = 3.

S₈ = 2 · 3⁸ − 13 − 1 = 6 560

Eksempel 2: sparing

Du setter inn 5 000 kr hvert år i 10 år med 4 % rente. Rett etter siste innskudd er beløpet

5 000 + 5 000 · 1,04 + … + 5 000 · 1,04⁹ = 5 000 · 1,04¹⁰ − 10,04 ≈ 60 030,54

Eksempel 3: finn kvotienten

a₁ = 3 og a₄ = 24. Finn k.

3 · k³ = 24  ·  k³ = 8  ·  k = 2

Vanlige feil

• Å bruke kⁿ i stedet for k^{n − 1} for ledd nummer n.
• Å telle feil antall ledd i en sparing. Sett opp de første leddene og se.
• Å bruke formelen når k = 1. Da er summen bare n · a₁.

På eksamen

Geometriske rekker kommer på del 1 og del 2 i R2 og S2. I S2 er de grunnlaget for sparing med faste innskudd, nåverdi og annuitetslån. Fra våren 2027 er del 2 uten regneark, så du setter opp rekken og bruker sumformelen med kalkulatoren.

I kurset hører temaet til leksjon 3.3 i modulen Følger og rekker, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Les også

• Uendelige geometriske rekker og konvergens
• Aritmetiske følger og rekker
• Sparing med faste innskudd: sluttverdi med rekker · Matematikk S2
• Annuitetslån med nåverdi og geometrisk rekke · Matematikk S2
• Formelark for R2
• Eksamen i R2
• Alle temaene

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.