a sin x + b cos x som én sinusfunksjon – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 1 · leksjon 1.8 · eksamen: del 2

Summen av en sinus og en cosinus med samme periode er én ny sinusbølge. Her lærer du å finne amplituden og faseforskyvningen, og å bruke dem til å finne største verdi.

Dette er leksjon 1.8 a sin x + b cos x som én sinusfunksjon i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

To bølger blir én

sin x og cos x har samme periode. Legger du dem sammen, får du en ny bølge med samme periode, bare forskjøvet og strukket. Den kan skrives A sin(x + φ), der A er amplituden og φ er faseforskyvningen.

Reglene

1. A = √(a² + b²).
2. cos φ = a delt på A og sin φ = b delt på A.
3. Da er a sin x + b cos x = A sin(x + φ).

Eksempler

Eksempel 1: skriv om

Skriv sin x + √3 cos x på formen A sin(x + φ).

√(1² + (√3)²) = √4 = 2
cos π delt på 3 = 1 delt på 2
sin π delt på 3 = √3 delt på 2
sin x + √3 cos x = 2 sin(x + π delt på 3)

Svar: sin x + √3 cos x = 2 sin(x + π delt på 3)

Her er a = 1 og b = √3, så A = 2. Både cos φ og sin φ er positive, så φ ligger i første kvadrant, og φ = π delt på 3.

Eksempel 2: største verdi

Finn største verdi av f(x) = sin x + √3 cos x for x ∈ [0, 2π⟩, og hvor den er.

x + π delt på 3 = π delt på 2
x = π delt på 6
2 sin(π delt på 6 + π delt på 3) = 2

Svar: Største verdi er 2, i x = π delt på 6.

Sinus er størst, 1, når vinkelen er π delt på 2.

Øv selv: 15 oppgaver i trigonometriske identiteter med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke A = a + b. Bølgene topper ikke samtidig, så amplituden er mindre enn summen. 1 + √3 ≈ 2,73, men A = 2.
• Å finne φ med tan φ = b delt på a uten å sjekke kvadranten. Se på fortegnet til både cos φ og sin φ.
• Å glemme at A sin(x + φ) har største verdi A og minste verdi −A.

På eksamen

Denne omskrivingen kommer på del 2, ofte før du skal finne største og minste verdi eller løse en likning. Fra våren 2027 har du ikke datamaskin. Regn A og φ for hånd, og bruk kalkulatoren i radianer til tall som ikke er eksakte.

Leksjonen hører til modulen Trigonometri og radianer og øves til del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: amplitude faseforskyvning

Les også

• Radianer – forklart steg for steg
• Enhetssirkelen, radianer og eksakte verdier
• Trigonometriske likninger: sin x, cos x og tan x
• Likninger med cosinus og tangens – forklart steg for steg
• Trigonometriske identiteter – forklart steg for steg
• Sum- og dobbelvinkelformler – forklart steg for steg
• Andregradslikninger i sinus og cosinus – forklart steg for steg
• Trigonometriske identiteter: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.