Andregradslikninger i sinus og cosinus – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 1 · leksjon 1.7 · eksamen: del 1 og del 2

Noen likninger har sin x eller cos x både i andre og i første. Da er det en andregradslikning i forkledning. Her lærer du å løse den i tre steg.

Dette er leksjon 1.7 Andregradslikninger i sinus og cosinus i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

En andregradslikning i forkledning

Likningen 2 sin² x − sin x − 1 = 0 har sin x i andre og i første. Setter du u = sin x, får du 2u² − u − 1 = 0. Den løser du som en vanlig andregradslikning, for eksempel ved å faktorisere.

2u² − u − 1 = (2u + 1)(u − 1)

Tre steg

1. Sett u = sin x eller u = cos x.
2. Løs andregradslikningen i u.
3. Forkast verdier av u utenfor [−1, 1], og regn tilbake til x.

Eksempler

Eksempel 1: to verdier av sin x

Løs 2 sin² x − sin x − 1 = 0 for x ∈ [0, 2π⟩.

(2 sin x + 1)(sin x − 1) = 0
sin x = 1 eller sin x = −1 delt på 2
x = π delt på 2 eller x = 7π delt på 6 eller x = 11π delt på 6

Svar: x = π delt på 2, x = 7π delt på 6 eller x = 11π delt på 6

sin x = −1 delt på 2 har to løsninger, fordi sinus er negativ både i tredje og fjerde kvadrant.

Eksempel 2: en løsning som forkastes

Løs cos² x + cos x − 2 = 0 for x ∈ [0, 2π⟩.

(cos x + 2)(cos x − 1) = 0
cos x = 1
x = 0

Svar: x = 0. Løsningen cos x = −2 forkastes, fordi cosinus aldri er mindre enn −1.

Øv selv: 15 oppgaver i trigonometriske likninger med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å stoppe ved u = 1 og u = −1 delt på 2. u er sin x, ikke x, så du må regne tilbake.
• Å prøve å løse cos x = −2. Den har ingen løsning.
• Å glemme den andre løsningen av sin x = −1 delt på 2.

På eksamen

Andregradslikninger i sinus og cosinus kommer gjerne på del 1. Skriv substitusjonen tydelig, for eksempel «u = sin x», og skriv «sin x = …» før du finner x. Sjekk til slutt at alle løsningene ligger i intervallet.

Leksjonen hører til modulen Trigonometri og radianer og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: substitusjon andregradslikning

Les også

• Radianer – forklart steg for steg
• Enhetssirkelen, radianer og eksakte verdier
• Trigonometriske likninger: sin x, cos x og tan x
• Likninger med cosinus og tangens – forklart steg for steg
• Trigonometriske identiteter – forklart steg for steg
• Sum- og dobbelvinkelformler – forklart steg for steg
• a sin x + b cos x som én sinusfunksjon – forklart steg for steg
• Trigonometriske likninger: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.