Enhetssirkelen, radianer og eksakte verdier
I R2 måles vinkler i radianer, og sinus og cosinus defineres med enhetssirkelen. Da kan du finne eksakte verdier for alle vinklene du trenger på del 1, også over 90°.
Lær dette i Sophus: 1.2 Enhetssirkelen og eksakte verdier i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen
Radianer
En radian er vinkelen der buen er like lang som radien. En hel sirkel er 2π radianer, så 180° = π.
radianer = grader180 · π · grader = radianerπ · 180
Buelengden på en sirkel med radius r er s = r · v, når v er i radianer.
Enhetssirkelen
Enhetssirkelen har radius 1 og sentrum i origo. Et punkt på sirkelen med vinkel v (målt mot klokka fra positiv x-akse) har koordinatene (cos v, sin v). Derfor er cos v x-koordinaten og sin v y-koordinaten, og fortegnet følger kvadranten.
Eksakte verdier
| v | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 |
|---|---|---|---|---|---|
| sin v | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 |
| cos v | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
Andre vinkler finner du ved å speile i aksene, for eksempel 2π3 = π − π3.
Eksempler
Eksempel 1: fra grader til radianer
120° = 120180 · π = 2π3 · 45° = π4 · 3π2 = 270°
Eksempel 2: eksakte verdier i andre kvadrant
Finn sin 2π3 og cos 2π3. Vinkelen ligger i andre kvadrant, der x er negativ og y positiv. Den speiles om y-aksen til π3:
sin 2π3 = √32 · cos 2π3 = −12
Eksempel 3: tredje kvadrant
cos 5π4 = −√22 ≈ −0,7071
5π4 = π + π4, så punktet ligger i tredje kvadrant, der både x og y er negative.
Eksempel 4: buelengde
En sirkel har radius 4 cm. Hvor lang er buen til en sektor med vinkel 2,5 radianer?
s = 4 · 2,5 = 10
Buen er 10 cm.
Vanlige feil
- Å ha kalkulatoren i grader når oppgaven er i radianer, eller omvendt.
- Å glemme fortegnet: cos 2π3 er negativ fordi punktet ligger til venstre for y-aksen.
- Å bytte om sinus og cosinus. Cosinus er x-koordinaten, sinus y-koordinaten.
På eksamen
Eksakte verdier og radianer brukes på nesten hver del 1 i R2: i trigonometriske likninger, derivasjon og integraler. Lær tabellen utenat og øv på å speile i enhetssirkelen. På del 2 bruker du kalkulatoren, og fra våren 2027 er det en enkel vitenskapelig kalkulator. Sjekk at den står i radianer (RAD).
I kurset hører temaet til leksjon 1.2 i modulen Trigonometri og radianer, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Spørsmål og svar
Hva er en radian?
Vinkelen der buen er like lang som radien. 180° er π radianer, og en hel sirkel er 2π.
Hvordan gjør jeg om grader til radianer?
Del på 180 og gang med π. 120° er 120/180 · π = 2π/3.
Hvorfor er cos v x-koordinaten?
Fordi enhetssirkelen har radius 1, så hypotenusen i trekanten er 1, og hosliggende katet blir cos v, som er x-koordinaten.
Les også
- Trigonometriske likninger: sin x, cos x og tan x
- Sinusfunksjoner: amplitude, periode og likevektslinje
- Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter · Matematikk 1T
- Formelark for R2
- Eksamen i R2
- Alle temaene
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.