Likninger med cosinus og tangens – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 1 · leksjon 1.4 · eksamen: del 1 og del 2

En likning som cos x = 1 delt på 2 har to løsninger i hver runde. Her lærer du hvordan du finner begge, både for cosinus og tangens, og hvordan du sjekker intervallet.

Dette er leksjon 1.4 Likninger med cosinus og tangens i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Cosinus: v og 2π − v

Cosinus er x-koordinaten til punktet på enhetssirkelen. Speiler du punktet om x-aksen, får du den samme x-koordinaten. Derfor har cos x = a to løsninger i en runde: v og 2π − v.

Tangens: v og v + π

Tangens har periode π. Har du funnet én løsning v, er neste løsning v + π, og deretter v + 2π.

Reglene

1. For cosinus er løsningene v og 2π − v.
2. For tangens er løsningene v og v + π.
3. Sjekk at alle løsningene ligger i intervallet.

Eksempler

Eksempel 1: en likning med cosinus

Løs 2 cos x − 1 = 0 for x ∈ [0, 2π⟩.

2 cos x − 1 = 0
cos x = 1 delt på 2
x = π delt på 3 eller x = 2π − π delt på 3
x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3

Svar: x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3

cos π delt på 3 = 1 delt på 2 er en av de eksakte verdiene du må kunne. Begge løsningene ligger i intervallet.

Eksempel 2: en likning med tangens

Løs tan x = √3 for x ∈ [0, 2π⟩.

tan x = √3
x = π delt på 3 eller x = π delt på 3 + π
x = π delt på 3 eller x = 4π delt på 3

Svar: x = π delt på 3 eller x = 4π delt på 3

Neste løsning, 7π delt på 3, er større enn 2π og ligger utenfor intervallet.

Øv selv: 15 oppgaver i trigonometriske likninger med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke π − v for cosinus, som for sinus. Da får du 2π delt på 3, men cos 2π delt på 3 = −1 delt på 2.
• Å legge til 2π for tangens. Da mister du løsningen 4π delt på 3.
• Å glemme å sjekke intervallet. Skriv opp alle kandidatene, og stryk dem som ligger utenfor.

På eksamen

Trigonometriske likninger kommer ofte på del 1, der du må kunne de eksakte verdiene på enhetssirkelen. Skriv hvilken regel du bruker for den andre løsningen, og sjekk intervallet til slutt. På del 2 gir cos opphøyd i ⁻¹ og tan opphøyd i ⁻¹ på kalkulatoren deg én løsning, og resten finner du med reglene.

Leksjonen hører til modulen Trigonometri og radianer og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: cosinus tangens

Les også

• Radianer – forklart steg for steg
• Enhetssirkelen, radianer og eksakte verdier
• Trigonometriske likninger: sin x, cos x og tan x
• Trigonometriske identiteter – forklart steg for steg
• Sum- og dobbelvinkelformler – forklart steg for steg
• Andregradslikninger i sinus og cosinus – forklart steg for steg
• a sin x + b cos x som én sinusfunksjon – forklart steg for steg
• Trigonometriske likninger: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.