Hopp til innholdet

Trigonometriske identiteter: oppgaver med fasit

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i trigonometriske identiteter i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 1.5 Trigonometriske identiteter, 1.6 Sum- og dobbelvinkelformler, 1.8 a sin x + b cos x som én sinusfunksjon i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Skriv sin² v + cos² v så enkelt som mulig.

  1. A: 1
  2. B: tan v
  3. C: 2
  4. D: 0
Vis løsning på oppgave 1

Det er enhetsformelen: sin² v + cos² v = 1.

Fasit: A: 1

Fra leksjon 1.5 Trigonometriske identiteter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Hva er cos 2x skrevet med sin x og cos x?

  1. A: sin² x − cos² x
  2. B: 2 sin x cos x
  3. C: cos² x − sin² x
  4. D: 2 cos x
Vis løsning på oppgave 2

Fra sumformelene: cos 2x = cos² x − sin² x.

Fasit: C: cos² x − sin² x

Fra leksjon 1.6 Sum- og dobbelvinkelformler · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

En funksjon kan skrives f(x) = 3 sin(x + φ). Hva er største verdi?

Vis løsning på oppgave 3

sin(x + φ) ligger mellom −1 og 1, så f(x) ligger mellom −3 og 3.

Største verdi er 3.

Fasit: 3

Fra leksjon 1.8 a sin x + b cos x som én sinusfunksjon · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

sin v = 8 delt på 17 og cos v = 15 delt på 17. Finn tan v.

  1. A: 8 delt på 15
  2. B: 64 delt på 225
  3. C: 15 delt på 8
  4. D: 8 delt på 17
Vis løsning på oppgave 4

tan v = 8 delt på 17 : 15 delt på 17 = 8 delt på 15.

Fasit: A: 8 delt på 15

Fra leksjon 1.5 Trigonometriske identiteter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

sin v = 5 delt på 13 og cos v = 12 delt på 13. Finn sin 2v.

  1. A: 10 delt på 13
  2. B: 60 delt på 169
  3. C: 120 delt på 169
  4. D: 24 delt på 13
Vis løsning på oppgave 5

sin 2v = 2 · 5 delt på 13 · 12 delt på 13 = 120 delt på 169.

Fasit: C: 120 delt på 169

Fra leksjon 1.6 Sum- og dobbelvinkelformler · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

sin v = 7 delt på 25 og cos v = 24 delt på 25. Finn cos 2v.

  1. A: 48 delt på 25
  2. B: 527 delt på 625
  3. C: 1
  4. D: −527 delt på 625
Vis løsning på oppgave 6

cos 2v = (24 delt på 25)² − (7 delt på 25)² = 527 delt på 625.

Fasit: B: 527 delt på 625

Fra leksjon 1.6 Sum- og dobbelvinkelformler · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

6 sin x + 8 cos x = A sin(x + φ). Finn A.

  1. A: 10
  2. B: 10²
  3. C: 1
  4. D: 14
Vis løsning på oppgave 7

A = √(6² + 8²) = 10.

Fasit: A: 10

Fra leksjon 1.8 a sin x + b cos x som én sinusfunksjon · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

f(x) = 2 sin(x + π delt på 6). For hvilken x i [0, 2π⟩ er f størst?

  1. A: x = π delt på 6
  2. B: x = π delt på 3
  3. C: x = 2π delt på 3
  4. D: x = π delt på 2
Vis løsning på oppgave 8

x + π delt på 6 = π delt på 2 gir x = π delt på 3.

Fasit: B: x = π delt på 3

Fra leksjon 1.8 a sin x + b cos x som én sinusfunksjon · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

sin v = 15 delt på 17 og cos v = 8 delt på 17. Finn tan v.

  1. A: 15 delt på 8
  2. B: 15 delt på 17
  3. C: 225 delt på 64
  4. D: 8 delt på 15
Vis løsning på oppgave 9

tan v = 15 delt på 17 : 8 delt på 17 = 15 delt på 8.

Fasit: A: 15 delt på 8

Fra leksjon 1.5 Trigonometriske identiteter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

sin v = 12 delt på 13, og v ligger i første kvadrant. Finn cos v.

  1. A: 25 delt på 169
  2. B: 1 delt på 13
  3. C: −5 delt på 13
  4. D: 5 delt på 13
Vis løsning på oppgave 10

cos² v = 1 − (12 delt på 13)² = 25 delt på 169, så cos v = 5 delt på 13.

Fasit: D: 5 delt på 13

Fra leksjon 1.5 Trigonometriske identiteter · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

sin v = 8 delt på 17, og v ligger i andre kvadrant. Finn cos v.

  1. A: −15 delt på 17
  2. B: −8 delt på 17
  3. C: 15 delt på 17
  4. D: 9 delt på 17
Vis løsning på oppgave 11

cos² v = 1 − (8 delt på 17)² = 225 delt på 289.

I andre kvadrant er cos v negativ: −15 delt på 17.

Fasit: A: −15 delt på 17

Fra leksjon 1.5 Trigonometriske identiteter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

sin x + √3 cos x = A sin(x + φ). Finn φ.

  1. A: π delt på 6
  2. B: 0
  3. C: π delt på 3
  4. D: π delt på 2
Vis løsning på oppgave 12

cos φ = a delt på A og sin φ = b delt på A gir φ = π delt på 3.

Fasit: C: π delt på 3

Fra leksjon 1.8 a sin x + b cos x som én sinusfunksjon · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

sin v = 4 delt på 5, og v ligger i første kvadrant. Finn cos v.

  1. A: 9 delt på 25
  2. B: 3 delt på 5
  3. C: −3 delt på 5
  4. D: 1 delt på 5
Vis løsning på oppgave 13

cos² v = 1 − (4 delt på 5)² = 9 delt på 25, så cos v = 3 delt på 5.

Fasit: B: 3 delt på 5

Fra leksjon 1.5 Trigonometriske identiteter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

sin v = 5 delt på 13, og v ligger i andre kvadrant. Finn cos v.

  1. A: −5 delt på 13
  2. B: 12 delt på 13
  3. C: 8 delt på 13
  4. D: −12 delt på 13
Vis løsning på oppgave 14

cos² v = 1 − (5 delt på 13)² = 144 delt på 169.

I andre kvadrant er cos v negativ: −12 delt på 13.

Fasit: D: −12 delt på 13

Fra leksjon 1.5 Trigonometriske identiteter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Løs sin 2x = sin x for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = 0 eller π
  2. B: x = 0, π delt på 6, π eller 5π delt på 6
  3. C: x = 0, π delt på 3, π eller 5π delt på 3
  4. D: x = π delt på 3 eller 5π delt på 3
Vis løsning på oppgave 15

2 sin x cos x − sin x = 0, sin x(2 cos x − 1) = 0. sin x = 0 gir 0 og π, cos x = 1 delt på 2 gir π delt på 3 og 5π delt på 3.

Fasit: C: x = 0, π delt på 3, π eller 5π delt på 3

Fra leksjon 1.6 Sum- og dobbelvinkelformler · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: A: 1
  2. Oppgave 2: C: cos² x − sin² x
  3. Oppgave 3: 3
  4. Oppgave 4: A: 8 delt på 15
  5. Oppgave 5: C: 120 delt på 169
  6. Oppgave 6: B: 527 delt på 625
  7. Oppgave 7: A: 10
  8. Oppgave 8: B: x = π delt på 3
  9. Oppgave 9: A: 15 delt på 8
  10. Oppgave 10: D: 5 delt på 13
  11. Oppgave 11: A: −15 delt på 17
  12. Oppgave 12: C: π delt på 3
  13. Oppgave 13: B: 3 delt på 5
  14. Oppgave 14: D: −12 delt på 13
  15. Oppgave 15: C: x = 0, π delt på 3, π eller 5π delt på 3

Oppgavene hører til leksjonene 1.5–1.8 i modulen Trigonometri og radianer, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.