Sum- og dobbelvinkelformler – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 1 · leksjon 1.6 · eksamen: del 1 og del 2

Sumformlene gir sinus og cosinus til en sum av to vinkler. Fra dem får du formlene for dobbel vinkel. Her lærer du å bruke dem, og å løse likninger uten å miste løsninger.

Dette er leksjon 1.6 Sum- og dobbelvinkelformler i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Sumformlene

Sumformlene gir sinus og cosinus til summen av to vinkler:

sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v
cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v

Dobbel vinkel

Setter du u = v = x, får du formlene for dobbel vinkel:

sin(2x) = 2 sin x cos x
cos(2x) = cos² x − sin² x

Faktoriser, ikke del

Står sin x i flere ledd i en likning, setter du sin x utenfor en parentes. Deler du på sin x, mister du løsningene der sin x = 0.

Eksempler

Eksempel 1: en likning med dobbel vinkel

Løs sin(2x) = sin x for x ∈ [0, 2π⟩.

2 sin x cos x − sin x = 0
sin x · (2 cos x − 1) = 0
sin x = 0 eller cos x = 1 delt på 2
x = 0 eller x = π eller x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3

Svar: x = 0, x = π delt på 3, x = π eller x = 5π delt på 3

Først skriver du sin(2x) som 2 sin x cos x og flytter alt over på én side. Så setter du sin x utenfor.

Eksempel 2: dobbel vinkel med tall

sin v = 3 delt på 5 og cos v = 4 delt på 5. Finn sin(2v).

sin(2v) = 2 sin v cos v
2 · 3 delt på 5 · 4 delt på 5 = 24 delt på 25

Svar: sin(2v) = 24 delt på 25

Øv selv: 15 oppgaver i trigonometriske identiteter med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å dele på sin x. Da forsvinner løsningene x = 0 og x = π.
• Å tro at sin(2x) = 2 sin x. Sjekk med x = π delt på 2: sin π = 0, men 2 sin π delt på 2 = 2.
• Å bruke feil fortegn i cos(u + v). Det står minus mellom leddene.

På eksamen

Dobbelvinkelformlene står ofte i en likning på del 1, der du må skrive om før du kan løse. Har du formlene i de egne notatene dine på del 2, sjekk at de er skrevet riktig. Vis faktoriseringen, så ser sensor at du ikke har mistet løsninger.

Leksjonen hører til modulen Trigonometri og radianer og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: dobbel vinkel sumformel faktorisering

Les også

• Radianer – forklart steg for steg
• Enhetssirkelen, radianer og eksakte verdier
• Trigonometriske likninger: sin x, cos x og tan x
• Likninger med cosinus og tangens – forklart steg for steg
• Trigonometriske identiteter – forklart steg for steg
• Andregradslikninger i sinus og cosinus – forklart steg for steg
• a sin x + b cos x som én sinusfunksjon – forklart steg for steg
• Trigonometriske identiteter: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.