Grafene til sinus og cosinus – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 2 · leksjon 2.1 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Grafene til sin x og cos x er bølger som gjentar seg. Her lærer du hvor grafene kommer fra, og hvordan du finner periode, nullpunkter og topp- og bunnpunkter.

Dette er leksjon 2.1 Grafene til sinus og cosinus i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Fra sirkelen til grafen

Tenk deg et punkt som går rundt enhetssirkelen. sin x er høyden til punktet. Tegner du høyden mot vinkelen, får du grafen til sinus. Den starter i 0, går opp til 1, ned til −1 og tilbake til 0. cos x har samme form, men starter i 1.

Reglene

1. sin x og cos x har periode 2π.
2. Verdiene ligger mellom −1 og 1.
3. cos x er sin x flyttet π delt på 2 mot venstre.

cos x = sin(x + π delt på 2)

Viktige punkter på sinusgrafen

sin x har nullpunkter i 0, π og 2π, toppunkt i x = π delt på 2 og bunnpunkt i x = 3π delt på 2.

sin π = 0
sin π delt på 2 = 1
sin 3π delt på 2 = −1

Eksempler

Eksempel 1: nullpunktene til cos x

Finn nullpunktene til f(x) = cos x for x ∈ [0, 2π].

cos x = 0
x = π delt på 2 eller x = 3π delt på 2

Svar: Nullpunktene er x = π delt på 2 og x = 3π delt på 2.

Cosinus er x-koordinaten på enhetssirkelen. Den er 0 rett opp og rett ned.

Eksempel 2: topp og bunn for cos x

Finn toppunktene og bunnpunktet til g(x) = cos x for x ∈ [0, 2π].

cos 0 = 1
cos π = −1
cos(2π) = 1

Svar: Toppunktene er (0, 1) og (2π, 1). Bunnpunktet er (π, −1).

Øv selv: 15 oppgaver i amplitude og periode med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å tro at perioden er π fordi grafen krysser x-aksen etter π. Etter π er grafen på vei ned. Den gjentar seg først etter 2π.
• Å bytte om grafene. sin x starter i 0, cos x starter i 1.
• Å tro at cos x har nullpunkt i x = 0. cos 0 = 1.

På eksamen

På del 1 kan du bli bedt om å skissere grafene eller finne nullpunkter og topp- og bunnpunkter uten hjelpemidler. Fra våren 2027 tegner du grafene for hånd også på del 2. Merk π delt på 2, π, 3π delt på 2 og 2π på x-aksen, og tegn grafen gjennom de kjente punktene.

Leksjonen hører til modulen Trigonometriske funksjoner og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: periode amplitude nullpunkt

Les også

• Sinusfunksjoner: amplitude, periode og likevektslinje
• Derivasjon av sinus, cosinus og tangens
• Drøfting av trigonometriske funksjoner – forklart steg for steg
• Modeller med trigonometriske funksjoner – forklart steg for steg
• Amplitude og periode: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.