Trigonometriske identiteter – forklart steg for steg
En identitet er en likning som stemmer for alle verdier av variabelen. Her lærer du enhetsformelen og formelen for tangens, og hvordan du bruker dem til å finne cos v når du kjenner sin v.
Dette er leksjon 1.5 Trigonometriske identiteter i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Enhetsformelen
Punktet på enhetssirkelen er (cos v, sin v). Trekker du en linje ned til x-aksen, får du en rettvinklet trekant med kateter cos v og sin v og hypotenus 1. Pytagoras gir enhetsformelen:
sin² v + cos² v = 1
Tangens
Tangens er sinus delt på cosinus:
tan v = sin v delt på cos v
Fortegnet kommer fra kvadranten
Når du tar roten, må du velge fortegn. I første kvadrant er både sinus og cosinus positive. I andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ.
Bevise en identitet
Start med den ene siden, og skriv den om til du får den andre. Bruk enhetsformelen når du ser sin² v + cos² v.
(sin v + cos v)² = sin² v + 2 sin v cos v + cos² v
sin² v + 2 sin v cos v + cos² v = 1 + 2 sin v cos v
Eksempler
Eksempel 1: finn cos v
sin v = 3 delt på 5, og v ligger i første kvadrant. Finn cos v.
cos² v = 1 − (3 delt på 5)²
1 − (3 delt på 5)² = 1 − 9 delt på 25 = 16 delt på 25
cos v = √(16 delt på 25) = 4 delt på 5
Svar: cos v = 4 delt på 5
I første kvadrant er cosinus positiv, så du velger den positive roten.
Eksempel 2: finn tan v
Finn tan v for den samme vinkelen.
tan v = sin v delt på cos v
3 delt på 5 : 4 delt på 5 = 3 delt på 4
Svar: tan v = 3 delt på 4
Femtedelene forkortes bort når du deler.
Øv selv: 15 oppgaver i trigonometriske identiteter med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å tro at cos v = 1 − sin v. Det er kvadratene som blir 1 til sammen.
- Å glemme fortegnet. I andre kvadrant er cosinus negativ.
- Å ta roten av hvert ledd for seg. Regn ut det som står under rottegnet først.
På eksamen
Identiteter kommer på del 1, ofte som «finn cos v når sin v er kjent» eller «vis at». Skriv hvilken identitet du bruker, og begrunn fortegnet med kvadranten. I et bevis skriver du den ene siden om til den andre, linje for linje.
Leksjonen hører til modulen Trigonometri og radianer og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Begreper: identitet enhetsformelen
Les også
- Radianer – forklart steg for steg
- Enhetssirkelen, radianer og eksakte verdier
- Trigonometriske likninger: sin x, cos x og tan x
- Likninger med cosinus og tangens – forklart steg for steg
- Sum- og dobbelvinkelformler – forklart steg for steg
- Andregradslikninger i sinus og cosinus – forklart steg for steg
- a sin x + b cos x som én sinusfunksjon – forklart steg for steg
- Trigonometriske identiteter: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i R2
Mer om matte R2
- Alle modulene i matte R2
- Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R2
- Begrepene i R2 forklart
- De 10 vanligste feilene i R2
- Temaer i R2 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.