Grafer som skjærer hverandre – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 4 · leksjon 4.8 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Der to grafer krysser hverandre, har de samme verdi. Her lærer du å finne skjæringspunktene ved regning, og å finne for hvilke x den ene funksjonen er størst.

Dette er leksjon 4.8 Grafer som skjærer hverandre i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Skjæringspunkter ved regning

Sett f(x) = g(x), og løs ligningen. Med f(x) = x² og g(x) = x + 2 får du x² − x − 2 = 0, som gir x = 2 og x = −1. Skjæringspunktene er (2, 4) og (−1, 1).

x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)
2² = 4
(−1)² = 1

Når er f størst?

1. Finn skjæringspunktene.
2. Samle alt på én side: f(x) − g(x) > 0.
3. Faktoriser, og les av med fortegnslinje. Der grafen til f ligger over grafen til g, er f størst.

Når grafene ikke skjærer

f(x) = x² + 1 og g(x) = x − 1 gir x² − x + 2 = 0. Diskriminanten er (−1)² − 4 · 1 · 2 = −7, så grafene skjærer ikke. Parabelen ligger over linja for alle x.

(−1)² − 4 · 1 · 2 = −7

Eksempler

Eksempel 1: parabel og linje

For hvilke x er f(x) = x² større enn g(x) = x + 2?

x² > x + 2
x² − x − 2 > 0
(x − 2)(x + 1) > 0
x < −1 eller x > 2

Svar: x < −1 eller x > 2

Sjekk med x = 0: f(0) = 0 og g(0) = 2. Der er f minst, og 0 ligger mellom −1 og 2.

Eksempel 2: når er f minst?

For hvilke x er x² < 2x + 3?

x² − 2x − 3 < 0
(x − 3)(x + 1) < 0
−1 < x < 3

Svar: −1 < x < 3

Øv selv: 15 oppgaver i eksponentialfunksjoner med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å stoppe ved skjæringspunktene. Spørsmålet er når f er størst, og svaret er et område.
• Å velge området mellom skjæringspunktene når f er en parabel som vender opp. Der er f minst.
• Å glemme å ta med skjæringspunktene når det står «større enn eller lik».

På eksamen

Slike oppgaver kommer på del 1 som regning og på del 2 med grafer du tegner selv. Skriv skjæringspunktene, vis fortegnslinja og svar med en ulikhet. Sjekk med et tall i hvert område.

Leksjonen hører til modulen Funksjoner og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: skjæringspunkt ulikhet

Les også

• Hva er en funksjon? – forklart steg for steg
• Lineære funksjoner – forklart steg for steg
• Andregradsfunksjoner – forklart steg for steg
• Polynomfunksjoner – forklart steg for steg
• Rasjonale funksjoner og asymptoter – forklart steg for steg
• Potensfunksjoner – forklart steg for steg
• Eksponentialfunksjoner – forklart steg for steg
• Eksponentialfunksjoner: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.