Andregradsfunksjoner – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 4 · leksjon 4.3 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel. Her lærer du å finne nullpunktene, symmetrilinja og topp- eller bunnpunktet, steg for steg.

Dette er leksjon 4.3 Andregradsfunksjoner i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Formen på grafen

Er tallet foran x² positivt, vender parabelen opp og har et bunnpunkt. Er det negativt, vender den ned og har et toppunkt. Parabelen er symmetrisk om en loddrett linje gjennom topp- eller bunnpunktet, symmetrilinja.

Metoden

1. Finn nullpunktene ved å løse f(x) = 0.
2. Symmetrilinja er x = −b delt på 2a. Den ligger midt mellom nullpunktene.
3. Sett x-verdien inn i f for å finne y, og svar med et punkt.

Uten nullpunkter

Ikke alle parabler krysser x-aksen. f(x) = x² + 2x + 3 har diskriminant 2² − 4 · 1 · 3 = −8, så den har ingen nullpunkter. Symmetrilinja er likevel x = −1, og bunnpunktet er (−1, 2).

2² − 4 · 1 · 3 = −8
f(−1) = (−1)² + 2 · (−1) + 3 = 2

Eksempler

Eksempel 1: nullpunkter og bunnpunkt

f(x) = x² − 4x + 3. Finn nullpunktene og bunnpunktet.

x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
1 + 3 delt på 2 = 2
f(2) = 2² − 4 · 2 + 3 = −1
x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1

Svar: Nullpunktene er x = 1 og x = 3. Bunnpunktet er (2, −1).

Den siste linjen viser det samme med fullstendig kvadrat: (x − 2)² er aldri negativ, så den minste verdien er −1, når x = 2.

Eksempel 2: toppunkt

f(x) = −x² + 6x − 5. Finn toppunktet.

x = −6 delt på 2 · (−1) = 3
f(3) = −3² + 6 · 3 − 5 = 4

Svar: Toppunktet er (3, 4).

Øv selv: 15 oppgaver i andregradsfunksjoner og polynomer med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke x = −b som symmetrilinje. For x² − 4x + 3 gir det 4, men riktig er −−4 delt på 2 = 2.
• Å svare bare med x-verdien. Et topp- eller bunnpunkt trenger både x og y.
• Å tro at en parabel uten nullpunkter ikke har bunnpunkt.

På eksamen

Andregradsfunksjoner kommer på del 1 og del 2. Fra våren 2027 har du ikke datamaskin på del 2, så du finner punktene ved regning og skisserer grafen for hånd. Merk nullpunktene, skjæringen med y-aksen og topp- eller bunnpunktet.

Leksjonen hører til modulen Funksjoner og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: parabel symmetrilinje toppunkt bunnpunkt

Les også

• Hva er en funksjon? – forklart steg for steg
• Lineære funksjoner – forklart steg for steg
• Polynomfunksjoner – forklart steg for steg
• Rasjonale funksjoner og asymptoter – forklart steg for steg
• Potensfunksjoner – forklart steg for steg
• Eksponentialfunksjoner – forklart steg for steg
• Grafer som skjærer hverandre – forklart steg for steg
• Andregradsfunksjoner og polynomer: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.