Potensfunksjoner – forklart steg for steg
Mange formler fra geometri og fysikk er potensfunksjoner. Her lærer du hva en potensfunksjon er, og hvorfor volumet av en kule blir åtte ganger så stort når radien dobles.
Dette er leksjon 4.6 Potensfunksjoner i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Hva er en potensfunksjon?
En potensfunksjon har formen f(x) = a · xᵇ, der a og b er faste tall. Arealet av en sirkel, A(r) = πr², har eksponent 2. Volumet av en kule, V(r) = 4 delt på 3πr³, har eksponent 3. Kvadratroten √x = x opphøyd i 1⁄2 har eksponent 1 delt på 2.
Når x ganges med et tall
Ganger du x med k, blir funksjonsverdien ganget med kᵇ. Det kommer av potensregelen: En parentes opphøyes faktor for faktor.
(2x)³ = 8x³
(3r)² = 9r²
Grafene
Med positiv a og positiv eksponent går grafen gjennom origo og stiger for x > 0. Er eksponenten større enn 1, blir grafen brattere og brattere. Er den mellom 0 og 1, som for √x, flater grafen ut.
Er eksponenten negativ, som i 1 delt på x = x opphøyd i −1, synker grafen og nærmer seg x-aksen når x blir stor.
Eksempler
Eksempel 1: volumet av en kule
Volumet av en kule er V(r) = 4 delt på 3πr³. Hvor mange ganger større blir volumet når radien dobles?
V(2r) = 4 delt på 3π(2r)³
4 delt på 3π(2r)³ = 8 · 4 delt på 3πr³
Svar: Volumet blir 8 ganger så stort.
Eksempel 2: en vindmølle
Effekten fra en vindmølle er omtrent P(v) = 2,5 · v³, der v er vindfarten. Hva skjer med effekten når vindfarten dobles, og hva er P(10)?
2³ = 8
P(10) = 2,5 · 10³ = 2 500
Svar: Effekten blir 8 ganger så stor. P(10) = 2 500.
Øv selv: 15 oppgaver i asymptoter og potensfunksjoner med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å tro at volumet også dobles. (2r)³ er 8r³, ikke 2r³.
- Å opphøye bare r og ikke tallet i parentesen.
- Å blande potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner. I xᵇ står x nede, i bˣ står x oppe.
På eksamen
Potensfunksjoner kommer på del 1 som «hva skjer når x dobles», og på del 2 i praktiske modeller. Skriv parentesen med tallet inni før du opphøyer. På del 2 regner du verdiene på en enkel vitenskapelig kalkulator.
Leksjonen hører til modulen Funksjoner og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.
Begreper: potensfunksjon
Les også
- Hva er en funksjon? – forklart steg for steg
- Lineære funksjoner – forklart steg for steg
- Andregradsfunksjoner – forklart steg for steg
- Polynomfunksjoner – forklart steg for steg
- Rasjonale funksjoner og asymptoter – forklart steg for steg
- Eksponentialfunksjoner – forklart steg for steg
- Grafer som skjærer hverandre – forklart steg for steg
- Asymptoter og potensfunksjoner: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i 1T
Mer om matte 1T
- Alle modulene i matte 1T
- Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for 1T
- Begrepene i 1T forklart
- De 10 vanligste feilene i 1T
- Temaer i 1T forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.