Rasjonale funksjoner og asymptoter – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 4 · leksjon 4.5 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

En rasjonal funksjon er en brøk med x i nevneren. Grafen nærmer seg linjer som kalles asymptoter. Her lærer du å finne dem og forstå hvordan grafen oppfører seg.

Dette er leksjon 4.5 Rasjonale funksjoner og asymptoter i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Den enkleste: 1 delt på x

Når x nærmer seg 0, blir 1 delt på x veldig stor eller veldig liten. Grafen nærmer seg y-aksen, men treffer den aldri. Når x blir stor, blir 1 delt på x nesten 0, og grafen nærmer seg x-aksen.

En linje som grafen kommer nærmere og nærmere, kalles en asymptote. For 1 delt på x er asymptotene x = 0 og y = 0.

Reglene

1. Vertikal asymptote: der nevneren er 0 og telleren ikke er 0.
2. Har telleren lavere grad enn nevneren, er den horisontale asymptoten y = 0.
3. Har teller og nevner samme grad, er den horisontale asymptoten tallet foran leddet med høyest grad oppe delt på tallet foran leddet med høyest grad nede.
4. Har telleren høyere grad enn nevneren, er det ingen horisontal asymptote.

Når nevneren aldri er 0

I x delt på x² + 4 er nevneren aldri 0, fordi x² aldri er negativ. Funksjonen har ingen vertikal asymptote. Telleren har lavere grad, så y = 0 er horisontal asymptote.

100 delt på 100² + 4 ≈ 0,01

Eksempler

Eksempel 1: samme grad

f(x) = 2x + 1 delt på x − 1. Finn asymptotene.

2x + 1 delt på x − 1 = 2 + 3 delt på x − 1
f(1 001) = 2 003 delt på 1 000 = 2,003

Svar: Vertikal asymptote x = 1 og horisontal asymptote y = 2.

Nevneren er 0 når x = 1, og telleren er da 3. Omskrivingen viser at f(x) er 2 pluss en brøk som blir liten når x blir stor.

Eksempel 2: et annet eksempel

Finn asymptotene til g(x) = 3x − 2 delt på x + 2.

3x − 2 delt på x + 2 = 3 − 8 delt på x + 2

Svar: Vertikal asymptote x = −2 og horisontal asymptote y = 3.

Øv selv: 15 oppgaver i asymptoter og potensfunksjoner med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å tro at nullpunktet i telleren gir en asymptote. Der er funksjonen 0, og grafen krysser x-aksen.
• Å tro at det alltid finnes en vertikal asymptote.
• Å glemme at funksjonen ikke er definert der nevneren er 0.

På eksamen

Asymptoter kommer på del 1. Skriv hvor nevneren er 0, sjekk at telleren ikke er 0 der, og begrunn den horisontale asymptoten med gradene eller en omskriving. Tegn asymptotene stiplet når du skisserer grafen.

Leksjonen hører til modulen Funksjoner og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: rasjonal funksjon asymptote

Les også

• Hva er en funksjon? – forklart steg for steg
• Lineære funksjoner – forklart steg for steg
• Andregradsfunksjoner – forklart steg for steg
• Polynomfunksjoner – forklart steg for steg
• Potensfunksjoner – forklart steg for steg
• Eksponentialfunksjoner – forklart steg for steg
• Grafer som skjærer hverandre – forklart steg for steg
• Asymptoter og potensfunksjoner: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.